Question

如图，光滑水平面上固定着一对竖直放置的平行金属板G和H．在金属板G右壁固定一个可视为质点的小球C，其质量为 M_C=0.01kg、带电量为q=+1×10^-5C．G、H两板间距离为d=10cm，板H下方开有能让小球C自由通过的小洞．质量分别为M_A=0.01kg和M_B=0.02kg的不带电绝缘小球A、B用一轻质弹簧连接，并用细线栓连使弹簧处于压缩状态，静放在H板右侧的光滑水平面上，如图（a）所示．现将细线烧断，小球A、B在弹簧作用下做来回往复运动（A球不会进入G、H两板间）．以向右为速度的正方向，从烧断细线断开后的某时刻开始计时，得到A球的速度-时间图象如图（b）所示．

（1）求在t=0、

T

4

、

3T

4

时刻小球B的速度，并在图（b）中大致画出B球的速度-时间图象；
（2）若G、H板间是电场强度为E=8×10⁴V/m的匀强电场，在某时刻将小球C释放，则小球C离开电场时的速度为多大？若小球C以离开电场时的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试求弹簧的最大弹性势能的范围．

Answer 1

分析：（1）对于小球A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，根据A球的速度-时间图象得出B球的速度-时间图象
（2）当金属板间加有匀强电场时，电场力对小球做功，小球获得初动能并离开金属板，根据动能定理列出等式，水平方向A、B、C三小球系统不受外力，故系统动量守恒，当三球速度相同时弹簧的弹性势能最大，根据能量守恒求解．

解答：解：（1）对于小球A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，有M_Av_A+M_Bv_B=0
vB=-

MAvA

MB

=-

0.01

0.02

vA=-

1

2

vA
当t=0时，有 vB1=-

1

2

vA=-

1

2

×0=0
当t=

T

4

时，有 v_B2=-

1

2

vA=-

1

2

×4m/s=-2m/s                 
当t=

3T

4

时，有 vB3=-

1

2

vA=-

1

2

×(-4)m/s=2m/s
小球B的速度-时间图象如图所示．                       
（2）当金属板间加有匀强电场时，电场力对小球做功，小球获得初动能并离开金属板．
由动能定理，有  qEd=

1

2

MC

v

2 C

得     vC=

2qEd MC

=4m/s                                         
因水平方向A、B、C三小球系统不受外力，故系统动量守恒．
由此可得，不论A、C两球何时何处相碰，三球的共同速度是一个定值，
即三球速度相同时的总动能是一定值．
由M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共，
解得v_共=1m/s
当三球速度相同时弹簧的弹性势能最大．
当A球在运动过程中速度为4m/s且与C球同向时，跟C球相碰，系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中弹簧具有的最大弹性势能设为E₁      
   E₁=

1

2

MAv

2 A

+

1

2

MBv

2 B

+

1

2

MCv

2 C

-

1

2

(MA+MB+MC)

v

2 共

=0.18J
当A球在运动过程中速度为4m/s与C球反向时，跟C球相碰，系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中弹簧具有的最大弹性势能设为E₂
由M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v₃，解得v₃=0                      
E₂=

1

2

（M_A+M_C）v₃²+

1

2

M_Bv_B²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.02J      
由上可得：弹簧具有的最大弹性势能的可能值在0.02J～0.18J的范围内．
答：（1）在t=0、

T

4

、

3T

4

时刻小球B的速度分别是0，-2m/s，2m/s．
B球的速度-时间图象如图；
（2）弹簧的最大弹性势能的范围是0.02J～0.18J．

点评：该题主要考查了系统动量守恒和能量守恒的应用，要分析物体的运动过程，难度较大．