如图所示.两根平行光滑的金属导轨MN.PQ放在水平面上.左端向上弯曲.导轨间距为L.电阻不计．水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场.磁感应强度为B．导体棒a和b的质量均为m.电阻值分别为Ra=R.Rb=2R．．b棒放置在水平导轨上且距弯曲轨道底部Lo处.a棒在弯曲轨道上距水平面h高度处由静止释放．运动过程中导轨棒和导轨接触良好且始终和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．如图所示，两根平行光滑的金属导轨MN、PQ放在水平面上，左端向上弯曲，导轨间距为L，电阻不计．水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．导体棒a和b的质量均为m，电阻值分别为R_a=R，R_b=2R．．b棒放置在水平导轨上且距弯曲轨道底部L_o处，a棒在弯曲轨道上距水平面h高度处由静止释放．运动过程中导轨棒和导轨接触良好且始终和导轨垂直，重力加速度为g．求：

（1）a棒刚进入磁场时受到的安培力？
（2）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，a棒上产生的内能？
（3）当a、b棒运动最终稳定时，a、b棒间距？

分析（1）a棒下滑过程机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求出a棒刚进入水平轨道时的速度；根据切割感应电动势公式E=BLv求解感应电动势，根据欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式F=BIL求解安培力，根据右手定则判断感应电流方向，根据左手定则判断安培力方向；
（2）a棒进入磁场受，两个导体棒受安培力大小相等、方向相反，故两个导体棒系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律列式求解稳定时两棒的速度大小；对整个运动过程分析，a棒减小的重力势能转化为相同的动能和电能，根据能量守恒定律列式求解a棒上产生的内能．
（3）从a棒开始进入磁场至最终稳定速度，对两棒分别运用动量定理列式，结合速度与位移的关系求解a、b棒间距．

解答解：（1）设a棒刚进入磁场时的速度为v，从开始下落到刚进入磁场，由机械能守恒定律有
mgh=$\frac{1}{2}$mv²
a棒切割磁感线产生感应电动势 E=BLv
根据闭合电路欧姆定律得 I=$\frac{E}{R+2R}$
a 棒受到的安培力 F=BIL
联立得 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左．
（2）a、b 棒均受安培力作用，大小相等，方向相反，所以a棒和b棒组成的系统动量守恒．设两棒最终稳定速度为v₁，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有
   mv=2mv₁
a棒产生内能为E_a，b棒产生内能为E_b
根据能量守恒：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+E_a+E_b
又 E_b=2E_a
解得a棒上产生的内能 E_a=$\frac{1}{6}$mgh
（3）a棒受安培力作用，从开始进入磁场至最终稳定速度，由动量定理：
-B I _平均 Lt=mv₁-mv--------------①
又 I_平均t=q---------------------------②
q为通过a棒的总电量，联立①②得   q=$\frac{mv}{2BL}$--------------------------③
分析a、b棒运动得：E_平均=BLv_a平均-BLv_b平均-------------------------④
而 I_平均=$\frac{{E}_{平均}}{3R}$---------------------------------------⑤
x_a平均=v_平均t       x_b平均=v_平均 t
q=$\frac{△Φ}{3R}$=$\frac{BL（{x}_{a}-{x}_{b}）}{3R}$-------------------------------------------⑥
则由③⑥式得：x_a-x_b=$\frac{3Rmv}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
最终a、b棒间距为 x_ab=L₀-（x_a-x_b）------------------------⑦
联立解得 x_ab=L₀-$\frac{3Rm\sqrt{2gh}}{2{B}^{2}{L}^{2}}$-------------------------⑧
答：
（1）a棒刚进入磁场时受到的安培力为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左．
（2）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，a棒上产生的内能是$\frac{1}{6}$mgh．
（3）当a、b棒运动最终稳定时，a、b棒间距是L₀-$\frac{3Rm\sqrt{2gh}}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评本题是双滑杆问题，关键是要正确分析两棒的运动情况，明确a棒进入磁场后系统的动量守恒，还要对整个运动过程结合能量守恒定律列式分析．

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