Question

19．如图所示，一质量M=1．Okg的沙摆，用轻绳悬于天花板上O点．另有一玩具枪能连续发射质量m=0.01kg．速度v=4．Om/s的小钢珠．现将沙摆拉离平衡位置，由高h=0.20m处无初速度释放，恰在沙摆向右摆到最低点时，玩具枪发射的第一颗小钢珠水平向左射入沙摆，二者在极短时间内达到共同速度．小钢珠射入沙摆的过程中，沙摆的质量保持不变，不计空气阻力，g取lOm/s²
（1）求第一颗小钢珠射入沙摆前的瞬间，沙摆的速度大小v₀；
（2）求第一颗小钢珠射入沙摆后，沙摆和小钢珠的共同速度
（3）从第二颗小钢球开始，沙摆向左运动到最低点时打入小钢球．若使沙摆被小钢珠射入后摆起的最大高度超过h，则射入沙摆的小钢球的颗数应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）在砂摆向下运动的过程中，只有重力做功，由动能定理或机械能守恒定律可以求出砂摆到达水平位置时的速度．
（2）钢珠射入砂摆的过程中，两者组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出钢珠射入砂摆后的瞬间，砂摆的速度．
（3）钢珠射入砂摆的过程中，系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出n颗钢珠射入砂摆后，砂摆的速度；砂摆要回到释放时的高度，砂摆在最低点时的速度应大于等于砂摆第一次到达最低点时的速度．

解答 解：（1）砂摆从释放到最低点，由动能定理：
Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₀^2-0，
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=2m/s；
（2）小钢球打入砂摆过程系统动量守恒，选向右为正方向，由动量守恒定律得：
Mv₀-mv=（M+m）v₁，
解得：v₁=$\frac{M{v}_{0}-mv}{M+m}$≈1.94m/s；
（3）第2颗小钢球打入过程，选向左为正方向，由动量守恒定律得：
（M+m）v₁+mv=（M+2m）v₂，
第3颗小钢球打入过程，同理可得：
（M+2m）v₂+mv=（M+3m）v₃，
…
第n颗小钢球打入过程，同理可得：
[M+（n-1）m]v_n-1+mv=（M+nm）v_n，
联立各式得：（M+m）v₁+（n-1）mv=（M+nm）v_n，
解得：v_n=$\frac{（M+m）{v}_{1}+（n-1）mv}{M+nm}$，
当第n颗小钢球射入后，砂摆要能达到初始释放的位置，
砂摆速度满足：v_n≥v₀，
解得：n≥$\frac{（M+m）{v}_{1}-mv-M{v}_{0}}{m（{v}_{0}-v）}$=4，
所以，当第4颗小钢球射入砂摆后，砂摆能达到初始释放的高度，若要沙摆被小钢珠射入后摆起的最大高度超过h，则射入沙摆的小钢球的颗数应大于4．
答：（1）第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间，砂摆的速度为2m/s．
（2）第一颗小钢珠射入沙摆后，沙摆和小钢珠的共同速度为1.94m/s．
（3）若要沙摆被小钢珠射入后摆起的最大高度超过h，则射入沙摆的小钢球的颗数应大于4．

点评 动量是矢量，动量守恒定律方程是矢量方程，在应用动量守恒定律解题时，要注意正方向的选择，难度适中．