Question

1．如图所示，第一象限有平行于纸面且与x轴负方向成45°的匀强电场，电场强度大小未知．第四象限有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现从坐标原点O向磁场中射入一个质量为m、电量为q的带正电的粒子（重力不计），速度大小为v，方向与x轴正方向成45°，该粒子从O点进入磁场之后，第四次经过x轴时恰好回到O点．则粒子从O点进入磁场到再次回到O点的过程中．求：
（1）粒子第一次经过x轴时的坐标．
（2）电场强度的大小．
（3）该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间．

Answer 1

分析 （1）首先分析粒子的运动情况，进入磁场后先做一段$\frac{1}{4}$圆弧的圆周运动到a，先求出半径，根据几何知识求出a坐标；
（2）接着恰好逆着电场线匀减速运动到b点速度为零，再返回a点速度仍为v，在磁场中运动$\frac{3}{4}$圆弧到c，最后垂直电场线进入电场作类平抛运动，再根据平抛运动和匀速圆周运动的基本公式及几何知识求电场强度；
（3）分别求出各段运动的时间，然后加到一起．

解答 解：（1）根$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
根据几何知识可得，
oa长${x}_{oa}=\sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
a的坐标（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）

（2）根据图象可知 ${x}_{oc}=2\sqrt{2}R$
类平抛运动的垂直和平行电场方向的位移都为s_⊥=s_∥=x_ocsin45°=2R
所以类平抛运动时间为  ${t}_{3}=\frac{{s}_{⊥}}{v}=\frac{2R}{v}$
又 ${s}_{∥}=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$=$\frac{qE}{2m}{{t}_{3}}^{2}$
 可 E=vB
（3）根据$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁场中运动的总时间为${t}_{1}=T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在电场中的加速度$a=\frac{qE}{m}=\frac{qvB}{m}$
粒子做往返直线运动所需时间${t}_{2}=\frac{2v}{a}=\frac{2m}{qB}$
粒子在电场中做类平抛运动的时间${t}_{3}=\frac{2R}{v}=\frac{2m}{qB}$
总时间$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{2m}{qB}（2+π）$
答：（1）粒子第一次经过x轴时的坐标为（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）；
（2）电场强度的大小为vB；
（3）该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间为$\frac{2m}{qB}（2+π）$．

点评 此题主要考查带电粒子在电场和磁场中的运动问题，要求学生掌握圆周运动、匀变速直线运动及类平抛的基本公式．做此题时需要画出粒子的运动轨迹，并且对粒子的运动分段进行分析，此题难度较大．