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(2009?佛山三模)新华社北京10月24日电,24日18时29分,星箭成功分离之后,嫦娥一号卫星进入半径为205公里的圆轨道上绕地球做圆周运动,卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后,于25日下午进行第一次变轨,变轨后,卫星轨道半径将抬高到离地球约600公里的地方.已知地球半径为R,表面重力加速度为g,质量为m的嫦娥一号卫星在地球上空的万有引力势能为Ep=
mgR2r
,(以无穷远处引力势能为零),r表示物体到地心的距离.
(1)质量为m的嫦娥一号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动,求此时卫星距地球地面高度h1
(2)要使嫦娥一号卫星上升,从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做多少功?
分析:1、卫星绕地球做圆周运动靠万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律,结合万有引力等于重力求出轨道半径的大小,从而求出卫星距离地面的高度.
2、根据分别求出在离地高度h1和h1+h的轨道上的总机械能E1、E2,根据功能关系W=E2-E1,可计算卫星发动机至少要做的功.
解答:解:(1)设地球质量为M,万有引力恒量为G,卫星距地面高度为h1时速度为v,
对卫星有G
Mm 
(R+h1)2
=m
v2
R+h1
,对地面上物体有mg=G
Mm
R2

解以上两式得h1=
gR2
v2
-R

(2)卫星在距地面高度h1的轨道做匀速圆周运动有G
Mm 
(R+h1)2
=m
v2
R+h1
,得v2=
GM
(R+h1)

∴此时卫星的动能Ek1=
1
2
mv2=
GMm
2(R+h1)
=
mgR2
2(R+h1)
,万有引力势能Ep1=-
mgR2
R+h1

卫星在距地面高度h1时的总机械能E1=Ek1+Ep1=
mgR2
2(R+h1)
-
mgR2
R+h1
=-
mgR2
2(R+h1)

同理,卫星在距地面高度(h1+h)时的总机械能E2=-
mgR2
2(R+h1+h)

由功能关系,卫星发动机至少要做功 W=E2-E1=
mgR2h
2(R+h1)(R+h1+h)

答:(1)质量为m的嫦娥一号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动,则此时卫星距地球地面高度h1
gR2
v2
-R

(2)要使嫦娥一号卫星上升,从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动,则卫星发动机至少要做功为
mgR2h
2(R+h1)(R+h1+h)
点评:解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G
Mm
r2
=m
v2
r
以及万有引力等于重力这两大理论.
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