Question

（2009?佛山三模）如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E的匀强电场（上、下及左侧无界）．一个质量为m、电量为q=mg/E的可视为质点的带正电小球，在t=0时刻以大小为V₀的水平初速度向右通过电场中的一点P，当t=t₁时刻在电场所在空间中加上一如图所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D到竖直面MN的距离DQ为L/π．设磁感应强度垂直纸面向里为正．
（1）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件时t₁的表达式（用题中所给物理量的符号表示）
（2）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小．
（3）当小球运动的周期最大时，在图中画出小球运动一个周期的轨迹．

Answer 1

分析：（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律与几何关系，即可求解；
（2）根据小球做匀速圆周运动，由几何关系与运动轨道周期的公式，即可求解；
（3）根据对小球受力分析，由受力情况来确定运动情况，从而画出运动轨迹．

解答：解：当小球进入电场时：mg=Eq将做匀速直线运动
（1）在t₁时刻加入磁场，小球在时间t₀内将做匀速圆周运动，圆周运动周期为T₀
若竖直向下通过D点，由图甲1分析可知必有以下两个条件：
t₀=

3

4

T₀
PF-PD=R  即：V₀t₁-L=R
qV₀B₀=

m v 2 0

R

所以：V₀t₁-L=

mv0

qB0

t₁=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，小球在电场中的运动的周期T增加，
在小球不飞出电场的情况下，当T最大时有：
DQ=2R   
 

L

π

=2

mv0

qB0

B₀=

2πmv0

qL

T₀=

2πR

v0

=

2πm

qB0

=

L

v0

 
由图分析可知小球在电场中运动的最大周期：
T=8×

3

4

T0=

6L

v0

 
（3）如图

答：（1）推出满足条件时t₁的表达式t₁=

L

v0

+

m

qB0

；
（2）则出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小8×

3

4

T0=

6L

v0

．
（3）当小球运动的周期最大时，在图中画出小球运动一个周期的轨迹如上图所示．

点评：考查粒子在电场力与重力的匀速直线运动，及在电场力、磁场力与重力共同作用下的匀速圆周运动，掌握受力平衡的条件，理解几何关系在题目中的应用．注意左手定则中运动的电荷的正负电性．