Question

（2010?浙江）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑μ的道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s²）．求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离S_max为多少？
（3）若图中H=4m，L=5m，动摩擦因数μ=0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？

Answer 1

分析：清楚运动员的运动过程，可运用动能定理研究A到B得过程把运动员到达B点的速度与高度h的关系联系起来．
求s的最大值，方法是把这个s先通过平抛运动规律表示出来，通过数学函数知识（可以配方）求极值．

解答：解析：
（1）设AB与水平面夹角为θ
A运动到B过程，摩擦阻力做功为 μmgcosθ

L

cosθ

=μmgL
由A运动到B过程应用动能定理：
mg（H-h）-μmgL=

1

2

mv_B²-0?v_B=

2g(H-h-μL)

（2）离开B点做平抛运动
竖直方向：h=

1

2

gt²?t=

2h g

．
水平方向：x=v_Bt 
解得：x=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

　
当h=

H-μL

2

时，x有最大值，x_max=H-μL
∴对应的最大水平距离S_max=H-μL+L．
（3）把数据代入x=2

(H-μL-h)h

x=2

(4-0.2×5-h)h

=7-5=2m
?h²-3h+1=0，
解得：h₁=

3+ 5

2

=2.62m     h₂=

3- 5

2

=0.38m．
答：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系是v_B=

2g(H-h-μL)

；
（2）当h=-

H-μL

2×(-1)

时，x有最大值，S_max=H-μL
（3）h的值有：h₁=

3+ 5

2

=2.62m，h₂=

3- 5

2

=0.38m．

点评：第一问中也可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解，哪个简便你可以去尝试比较．
求一个物理量的极值，常见的方法是把这个物理量先表示出来，通过数学知识（可以配方）求极值．