Question

如图5-7-4所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为m的质点P与穿过中央小孔O的轻绳一端相连着，平板与小孔都是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为A、角速度为ω₀的匀速圆周运动.若绳子突然放松至某一长度B而立即被拉紧，质点就能在半径为B的圆周上做匀速圆周运动.求质点由半径A到半径B所需的时间及质点在半径为B的圆周上运动的角速度.

图5-7-4

Answer 1

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本题考查利用圆周运动、离心运动以及运动的合成和分解等知识综合分析、处理问题的能力.要注意分析质点的运动过程，要明确绳松开后，向心力突然消失，质点沿切线方向飞出，沿光滑平板做匀速直线运动，这是该题的易错点.
质点在半径为A的圆周上以角速度ω₀做匀速圆周运动，其线速度为：v_a=ω₀a

图5-7-5
突然松绳后，向心力消失，质点沿切线方向飞出，以v_a的速度做匀速直线运动，直到质点m距O点的距离为B时，绳子将被拉直.如图5-7-5所示，作出质点这一过程的俯视图，则质点在匀速直线运动中的位移：

因此质点m由半径A到B所需的时间为：.
当线刚被拉直时，质点的速度为：v_A=ω₀A
把这一速度分解为垂直于绳的速度v_b和沿绳的速度v_b′，在绳绷紧的过程中v_b′减为零，质点就以v_b沿着半径为B的圆周做匀速圆周运动.设其角速度为ω，根据相似三角形得：，即，则质点沿半径为B的圆周做匀速圆周运动的角速度为：.