Question

19．如图所示为自动灌溉的喷射装置的截面图．主要由水泵、竖直细输水管和喷头组成．喷头的喷嘴离地面高度为h，喷嘴的长度为r，水泵启动后，水从水池通过输水管压到喷嘴并沿水平方向喷出，在地面上的落点与输水管道中心的水平距离为R，此时喷嘴每秒中喷出的水的质量为m₀，忽略水池中水泵与地面的高度差，不计水进入水泵时的速度以及空气阻力，重力加速度为g．
（1）求水从喷嘴喷出时的速度v和水泵的输出功率p；
（2）若要浇灌离输出管道中心2R处的蔬菜，求此时水泵的输出功率p₁．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，求出水从喷嘴喷出时的速率．水泵所做的功与效率的乘积等于水动能和重力势能的增加，根据能量守恒求出水泵的功率P．
（3）根据平抛运动的规律求出平抛运动的初速度，从而通过密度公式，求出单位时间内喷出水的质量．根据能量守恒求出水泵的功率P₁．

解答 解：（1）水从喷嘴喷出后作平抛运动，则
R-r=vt，$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$v=（R-r）\sqrt{\frac{g}{2h}}$
设在△t时间内出水质量为m，由功能关系有$P△t=\frac{1}{2}m{v}^{2}+mgh$
且有  ${m}_{0}=\frac{m}{△t}$
解得  $P=\frac{{m}_{0}g[（{R-r）}^{2}+4{h}^{2}]}{4h}$
（2）设水的密度为ρ，速度为v₁，喷嘴的横截面积为S，则m₀=ρSv，m₁=ρSv₁
由平抛运动有 2R-r=v₁t，$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由${P}_{1}△t=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+{m}_{1}gh$
解得  ${P}_{1}={m}_{0}g\frac{（2R-r）}{（R-r）}[h+\frac{（2R-r）^{2}}{4h}]$
答：（1）水从喷嘴喷出时的速度为$（R-r）\sqrt{\frac{g}{2h}}$，水泵的输出功率为$\frac{{m}_{0}g[{（R-r）}^{2}+4{h}^{2}]}{4h}$；
（2）若要浇灌离输出管道中心2R处的蔬菜，此时水泵的输出功率为${m}_{0}g\frac{（2R-r）}{（R-r）}[h+\frac{{（2R-r）}^{2}}{4h}]$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律．以及能够灵活运用能量守恒定律进行求解．