Question

12．如图所示，固定在竖直平面内的轨道ABCD由两部分组成，AB段倾角为θ=37°，由光滑金属直杆做成，BCD段由粗糙金属杆做成的两段半径R=0.4m的四分之一圆弧，AB部分与BCD部分平滑相接．两段圆弧轨道的圆心等高，圆弧末端D点切线水平．可视作质点的质量m=0.1kg的金属球中间有小孔，将其穿在轨道上并从距离最低点L处由静止释放，金属球沿轨道滑动，并从D点离开轨道做平抛运动，最后落在地板上．已知地板与轨道最低点在同一水平面上，图中E点为D点在地板上的竖直投影，重力加速度取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）当L=$\frac{29}{6}$m时，金属球落在与E点相距d=2m的M点，求经过圆弧轨道时摩擦力做的功．
（2）如果M、N之间有一宽度为△d=0.4m的深槽，当释放位置距离B电为L'=$\frac{69}{12}$m时，判断金属球是否落在槽内？

Answer 1

分析 （1）由平抛运动规律得到金属球在D的速度，然后对从A到D的运动过程应用动能定理即可求得摩擦力做的功；
（2）根据摩擦力做功情况，得到金属球在D的速度范围，然后由平抛运动规律求得水平位移，即可判断是否落在槽内．

解答 解：（1）金属球从D到M做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，d=v_Dt
解得：${v}_{D}=\frac{d}{t}=\frac{d}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=5m/s$；
金属球从A到D运动过程只有重力和圆弧轨道上的摩擦力做功，故由动能定理可得：经过圆弧轨道时摩擦力做的功为：
${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-mg（Lsinθ-2R）=-0.85J$；
（2）当释放位置距离B电为L'=$\frac{69}{12}$m时，因为L′＞L，所以，金属球在D点的速度变大，落点在M的右侧；
又有从L′释放时，在同一位移速度更大，那么金属球对轨道的压力更大，所以，摩擦力更大，故克服摩擦力做功为：-W_f′＞-W_f；
由动能定理可得：$mg（L′sinθ-2R）+{W}_{f}'=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}$；
所以，金属球在D点的速度为：v_D′＜6m/s；
所以，金属球做平抛运动的水平位移为：$x={v}_{D}′t={v}_{D}′\sqrt{\frac{4R}{g}}＜2.4m$=d+△d，所以，金属球落在槽内；
答（1）当L=$\frac{29}{6}$m时，金属球落在与E点相距d=2m的M点，那么经过圆弧轨道时摩擦力做的功为-0.85J．
（2）如果M、N之间有一宽度为△d=0.4m的深槽，当释放位置距离B电为L'=$\frac{69}{12}$m时，金属球落在槽内．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．