Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图1-5-11 所示.引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速度 v 和运行周期T.

图1-5-11

（1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 F_a 可等效为位于 O 点处质量为 m＇的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′（用 m₁、m₂ 表示）;

（2）求暗星 B 的质量 m₂ 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m₁ 之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 m_s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星 A 的速率 v=2.7×10⁵ m/s，运行周期 T=4.7π×10⁴ s，质量 m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？

（G=6.67×10^-11 N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解析：设 A、B 圆轨道半径分别为 r₁、r₂，由题意知，A、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.

（1）由牛顿运动定律，有

F_A=m₁ω²r₁

F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

设A、B之间的距离为 r，又 r=r₁+r₂，由上述各式得r=                   ①

由万有引力定律，有F_A=

将①代入得F_A=

令F_A=

比较可得m′=                                                    ②

（2）由牛顿第二定律，有                                      ③

又可见星 A 的轨道半径r₁=                                               ④

由②③④式解得                                           ⑤

（3）将m₁=6m_s 代入⑤式，得

代入数据得=3.5m₅                                                ⑥

设m₂=nm_s（n＞0），将其代入⑥式，得

=3.5m_s                                              ⑦

可见，的值随 n 的增大而增大，试令 n=2，得

m_s=0.125m_s＜3.5m_s                                                    ⑧

若使⑦式成立，则 n 必大于2，即暗星 B 的质量 m₂ 必大于 2m_s，由此得出结论：暗星 B 有可能是黑洞.

答案：（1）m′=

（2）

（3）暗星 B 有可能是黑洞.