Question

8．近年来，随着人类对火星的了解越来越多，美国等国家已经开始进行移民火星的科学探索，并面向全球招募“单程火星之旅”的志愿者．已知某物体在火星表面以某一水平速度抛出，做平抛运动的时间是在地球表面同-高度处以相同水平速度抛出做平抛运动时间的1.5倍，地球半径是火星半径的2倍．
（1）求火星表面重力加速度g_l与地球表面重力加速度g₂的比值．
（2）如果将来成功实现了“火星移民”，求出在火星表面发射载人航天器的最小速度V₁与地球上卫星最小发射速度V₂的比值．

Answer 1

分析 平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据位移时间公式得出火星表面和地球表面的重力加速度之比．
根据重力提供向心力求出第一宇宙速度，即发射卫星的最小速度的表达式，从而得出最小发射速度之比．

解答 解：（1）由平抛运动的规律：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
则有：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{{t}_{2}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}}$，
代入数据解得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{4}{9}$．
（2）发生载人航天器或卫星的最小速度即第一宇宙速度，也就是近地卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度，则有：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$，
则有：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{g}_{1}{R}_{1}}{{g}_{2}{R}_{2}}}$，
代入数据解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
答：（1）火星表面重力加速度g_l与地球表面重力加速度g₂的比值为4：9．
（2）在火星表面发射载人航天器的最小速度V₁与地球上卫星最小发射速度V₂的比值为2$\sqrt{2}：3$．

点评 本题考查了万有引力与平抛运动的综合，知道最小的发射速度等于贴近中心天体表面做圆周运动的速度，即第一宇宙速度．