Question

12．滑块从$\frac{1}{4}$圆轨道顶端A滑下，圆轨道半径为R
（1）若轨道是光滑的滑块由静止从A滑下，滑块经过圆轨道最低点B时速度多大？
（2）若轨道是光滑的下滑到B点时速度是（1）所求速度的2倍，则A点的初速度多大？
（3）若滑块从A静止下滑，到B点速度为（1）结果的$\frac{1}{4}$，则下滑过程中克服阻力做功多少？

Answer 1

分析 （1）轨道为光滑的，则滑块由静止从A滑下过程中机械能守恒，由动能定理可求出经过最低点的速度大小；
（2）根据末速度是从静止下滑的两倍，设初速度为v₀，根据动能定理求出初速度；
（3）由静止下滑，滑到B点时是光滑轨道时的速度的四分之一，说明轨道是粗糙的，根据动能的变化量求出阻力做的功．

解答 解：设滑块的质量为m，
（1）轨道光滑，无摩擦力作用，整个过程机械能守恒，以B点所在平面为基准面，
初位置时：重力势能：E_p=mgR，动能为0
设物体到B点时速度大小为v，
则末重力势能为0，末动能为：E_k=$\frac{1}{2}$mv²
由动能定理得：E_p=E_k
联立以上三式得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）轨道光滑，无摩擦力作用，整个过程机械能守恒，以B点所在平面为基准面，
设初速度为v₀，末速度为：v₁=2v
则初位置：重力势能为E_p，动能为：${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
滑到B点时，重力势能为0，动能为${E}_{k2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}m（2v）^{2}$
由动能定理得：E_k2=E_k1+E_p
联立以上三式得：v₀=$\sqrt{6gR}$
（3）由题意知，轨道是粗糙的，设下滑过程中克服阻力做功大小为W，物体到B点速度为：${v}_{2}=\frac{1}{4}v$，
初位置时，动能为0，重力势能为E_p，
到B点时，重力势能为0，末动能为：${E}_{k3}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m（\frac{v}{4}）^{2}=\frac{m{v}^{2}}{32}$
由动能定理得：E_k3=E_p-W
联立以上两式得：W=$\frac{15mgR}{16}$
答：（1）若轨道是光滑的滑块由静止从A滑下，滑块经过圆轨道最低点B时速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）若轨道是光滑的下滑到B点时速度是（1）所求速度的2倍，则A点的初速度大小为$\sqrt{6gR}$；
（3）若滑块从A静止下滑，到B点速度为（1）结果的$\frac{1}{4}$，则下滑过程中克服阻力做功$\frac{15mgR}{16}$．

点评 本题考查不同状态下的物体动能的变化，比较前后状态下的能量变化，根据动能定理可以解决．