Question

6．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、km（k为大于1的待定常数）．A球从左边与圆心等高处P点由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞以后，两球又会同时回到最低点再次发生碰撞，碰撞中无机械能损失，已知从最低点开始运动到最高点再回到最低点所用的时间只与初速度有关，重力加速度为g．试求常数k的大小．

Answer 1

分析 第一次碰撞前A球下滑的过程，由机械能守恒定律求第一次碰撞前瞬间A球的速度．由于碰撞中无机械能损失，则碰撞过程遵守动量守恒和机械能守恒，由此列式求出碰后两球的速度．再根据两球碰后能同时回到最低点再次发生碰撞的条件结合解答．

解答 解：设第一次碰撞前瞬间A球速度为v，根据机械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：$v=\sqrt{2gR}$
设小球A、B第一次碰撞后瞬间速度分别为v₁、v₂，取向右为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律有：
mv=mv₁+kmv₂  
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²  
解得：${v_1}=-\frac{k-1}{k+1}v$，${v_2}=\frac{2}{k+1}v$
两球碰后能同时回到最低点再次发生碰撞，则有v₁=-v₂，即得 k=3
答：常数k的大小是3．

点评 本题的关键要明确两球发生弹性碰撞时，遵守两大守恒：机械能守恒和动量守恒，要灵活选择研究对象和研究过程进行处理．