Question

15．如图所示，ABCDEFH为小车运动的轨道．无动力小车（可视为质点）从A点以某一水平初速度出发，依次经过水平直轨道AB、光滑的竖直圆轨道BCDEF（B与F不共点）、水平直轨道FH，最后从H点飞出越过障碍板P（厚度不计）落到地面IJ上．已知小车的质量m=0．lkg，直轨道AB长L₁=6m、FH长L₂=2m，圆轨道半径R=0.3m，HI的高度h₁=0.65m，障碍板高度h₂=0.2m，小车在直轨道AB和FH段受到大小F₁=0.4N的水平阻力作用，当将障碍板固定在距离I为0.6m处时，小车恰好能从障碍板的顶部越过．g取10m/s²，求：

（1）小车飞离H点的速度大小；
（2）小车通过圆轨道最高点D时，轨道对小车的作用力大小；
（3）为了使小车不脱离轨道，则小车在A点的初速度为多大．

Answer 1

分析 （1）小车从H到P做平抛运动，由分位移公式求小车飞离H点的速度大小；
（2）由动能定理研究D到H的过程，求出小车通过D点的速度．在D点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求解．
（3）小车恰好不脱离轨道时，在D点，由重力充当向心力，由牛顿第二定律和动能定理结合解答．

解答 解：（1）小车从H到P做平抛运动，则有
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
   x=v_Ht
据题有 h=h₁-h₂=0.45m，x=0.6m
联立解得 v_H=2m/s
（2）从D到H的过程，由动能定理得
   2mgR-F₁L₂=$\frac{1}{2}m{v}_{H}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得
   mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 N=$\frac{5}{3}$N≈1.67N
（3）小车恰好不脱离轨道时，在D点，由重力充当向心力，由牛顿第二定律得：
    mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
从A到D的过程，由动能定理得
-2mgR-F₁L₁=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{63}$m/s≈7.9m/s
所以为了使小车不脱离轨道，则小车在A点的初速度应大于等于7.9m/s．
答：
（1）小车飞离H点的速度大小是2m/s；
（2）小车通过圆轨道最高点D时，轨道对小车的作用力大小是1.67N；
（3）为了使小车不脱离轨道，则小车在A点的初速度应大于等于7.9m/s．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动和动能定理的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．