Question

6．如图所示，倾角θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮 D，质量均为m=1kg的物体A和B用一劲度系数k=240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住，用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α=53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零，图中SD水平且长度为 d=0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．求：
（1）小环C的质量 M；
（2）小环C通过位置S时的动能E_k及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功W_T；
（3）小环C运动到位置Q的速率v_Q．

Answer 1

分析 （1）该题中，共有ABC三个物体与弹簧组成一个系统，受力的物体比较多，可以先以AB组成的整体为研究对象，求出绳子的拉力，然后以C为研究对象进行受力分析，即可求出C的质量；
（2）由几何关系求出绳子RD段的长度，再以B为研究对象，求出弹簧的伸长量，以及后来的压缩量，最后根据机械能守恒定律求出C的速度、动能；由动能定理求出轻绳对环做的功W_T；
（3）由机械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：

T•cos53°=Mg
代入数据得：M=0.72kg
（2）考虑到本题中弹簧有不同的形变量，所以需要先计算不同情况下弹簧的形变量，然后判断出是否需要使用弹簧的弹性势能的表达式．
所以需要先计算出弹簧开始时的形变量．
由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
弹簧的伸长量：$△{x}_{1}=\frac{{F}_{1}}{k}=\frac{6}{240}=0.025$m
由题图中的几何关系可知：$\overline{RD}=\overline{QD}=\frac{\overline{SD}}{sinα}=\frac{d}{sin53°}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$m
所以C由R点运动到S点的过程中，弹簧将缩短：$x=\overline{RD}-\overline{SD}=0.25-0.20=0.05$m＞0.025m
可知弹簧将由开始时的伸长状态变成压缩状态，压缩量：△x₂=x-△x₁=0.05-0.025=0.025m=△x₁
由于弹簧的压缩量等于弹簧开始时的伸长量，所以当C运动到S点时，弹簧的弹性势能与开始时的弹性势能是相等的．而A下降的距离等于弹簧缩短的距离x，即0.05m．
在C从R点运动到S点的过程中，C受到的重力、A受到的重力对A与C组成的系统 做功．当C到达S点时，C沿绳子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A与C减小的重力势能转化为C的动能，由机械能守恒定律得：
$Mg•\overline{RS}+mg•x•sinθ=\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
代入数据求得环C的动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}=1.38$J
环下降的过程中重力和绳子的拉力对环做功，由动能定理得：$Mg•\overline{RS}+{W}_{T}={E}_{k}$
代入数据，得：W_T=0.3J
（3）结合第二步的分析可知，当环到达Q点时，由于$\overline{RD}=\overline{QD}$，所以，物体A恰好又回到了开始时的位置，弹簧的长度又回到了最初的长度，所以环从R到S的过程中，只有环的重力势能减小，其他的物体的势能保持不变！
对环在Q点的速度进行分解如下图，则：

由图可知，物体A上升的速度即沿绳子方向的速度，是环C的一个分速度，它们之间的关系：
$\frac{{v}_{A}}{{v}_{Q}}=cosα=cos53°=0.6$
所以：v_A=0.6v_Q
由功能关系：$Mg\overline{RQ}=\frac{1}{2}M{v}_{Q}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：v_Q=2m/s
答：（1）小环C的质量 是0.72kg；
（2）小环C通过位置S时的动能E_k是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3J；
（3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s．

点评 该题中，第一问相对比较简单，解答的关键是第二问，在解答的过程中一定要先得出弹簧的弹性势能没有变化的结论，否则解答的过程不能算是完整的．