Question

如图所示，真空中有以（r，0）为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内．设质子在磁场中的轨道半径也为r，已知质子的电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用．求：
（1）质子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图所示）射入磁场的质子，到达y轴的位置坐标，并画出质子运动轨迹的示意图；
（4）质子到达y轴的位置坐标的范围．

Answer 1

分析：（1）、质子射入磁场后将做匀速圆周运动，此时洛伦兹力提供向心力，由向心力公式evB=

mv2

r

即可求得质子射入磁场时的速度大小．
（2）、速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，在磁场中的运动轨迹是

1

4

圆周，射出磁场后进入电场做类平抛运动，分别求出这两段运动的时间，再求和．
（3）、先对质子在磁场中的运动轨迹进行分析，会发现质子会以平行于y轴的方向离开磁场，质子在磁场中的偏转角是120°，并会垂直于电场的方向射入匀强电场，分别计算进入电场前在y轴方向的位移和进入电场后在y轴方向上的位移，即可得到到达y轴的位置坐标．
（4）、质子最远的是从磁场右边界向上直行，即进入电场时距y轴的距离是2r，根据类平抛移动的知识求出在电场中运动时沿y轴的位移，即可求出质子到达y轴最大坐标．

解答：解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，有：
evB=

mv2

r

得：v=

eBr

m

（2）质子沿x轴正向射入磁场后经

1

4

圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间  
 t1=

T

4

=

πm

2eB

进入电场后做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运动，运动r后到达y轴，因此有：
t2=

2r a

=

2mr eg

到达y轴所需的时间为t=t₁+t₂=

πm

2eB

+

2mr eg

（3）质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示．
P点距y轴的距离为：
x₁=r+rsin30°=1.5r
可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为：
t2=

2x1 a

=

3mr eE

质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，因此有：
y′=vt2=Br

3er mE

质子到达y轴的位置坐标为：
y=r+y′=r+Br

3er mE

 
即（0，r+Br

3er mE

）
（4）质子最远的是从磁场右边界向上直行，垂直进入电场，固有：
Y=r+Br

4re Em

范围是：（0，r+Br

4re Em

）
答：（1）质子射入磁场时的速度大小为

eBr

m

．
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间为

πm

2eB

+

2mr eg

．
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图所示）射入磁场的质子，到达y轴的位置坐标为（0，r+Br

3er mE

）．
（4）质子到达y轴的位置坐标的范围为（0，r+Br

4re Em

）．

点评：该题是一道综合性较强的题，主要是考察了带电粒子在磁场和电场中的偏转．该题确定质子射出磁场的位置和方向是解决该题的关键，找圆心、画轨迹是解题的基础．带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题．