Question

7．如图所示，在xoy坐标系的第一象限，y轴和x=L的虚线之间有一方向沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E₀，第一象限虚线x=L的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场．在y轴左侧及虚线MN之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，M点的坐标为（0，-2L），MN与y轴正向的夹角为30°．在第四象限有沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、带电量为q的带正电的粒子从电场中紧靠虚线x=L的A点由静止释放，A点的纵坐标y=L，结果粒子恰好不从MN穿出，粒子经第四象限的电场偏转后经x轴上的P点（2L，0）进入第一象限的磁场中，结果粒子从x=L的虚线上的D点垂直虚线进入第一象限的电场．不计粒子的重力，求：
（1）y轴左侧匀强磁场的磁感强强度的大小；
（2）第四象限内匀强电场的电场强度的大小；
（3）D点的坐标；
（4）粒子由A点运动到D点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，结合几何关系，与牛顿第二定律，即可求解磁感强强度的大小；
（2）依据运动的合成与分解，结合平抛运动处理的规律，即可求解电场强度的大小；
（3）根据粒子在磁场中做匀速圆周运动，结合几何关系，即可确定求解；
（4）做平抛运动时，依据运动学公式，求解运动时间；做圆周运动时，依据周期公式，求解运动轨迹对应的圆心角，即可求解时间．

解答 解：（1）粒子在第一象限的电场加速，依据动能定理，则有，qE₀L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
粒子在y轴左侧磁场中做圆周运动，作出粒子在磁场中做圆周运动的轨迹，
MN与y轴正向的夹角为30°，
根据几何关系，有R+2R=3L
解得：R=L
根据牛顿第二定律，则有，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}}{qL}$=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$
（2）粒子进入第四象限内，在电场中做平抛运动，
根据运动的合成与分解，结合运动学公式，
则有，L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
2L=vt
解得：E=E₀；
（3）粒子从x轴上进入第一象限与x轴正向的夹角为θ=45°，由几何关系，在第一象限磁场中做圆周运动半径R′=$\sqrt{2}L$；
因此D点y坐标，y=L+$\sqrt{2}$L=（1+$\sqrt{2}$）L，即D点的坐标为（L，（1+$\sqrt{2}$）L）；
（4）因L=$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}^{2}$，那么在第一象限中运动时间t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$；
在y轴左侧磁场中运动时间t₂=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
在第四象限电场中运动时间t₃=$\frac{2L}{v}$=$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$；
在第一象限磁场中运动时间，t₄=$\frac{2π×\sqrt{2}L×\frac{3}{8}}{\sqrt{2}v}$=$\frac{3π}{8}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
则有，粒子由A点运动到D点所用的时间t₄=t₁+t₂+t₃+t₄=（2$+\frac{7}{8}π$）$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
答：（1）y轴左侧匀强磁场的磁感强强度的大小$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$；
（2）第四象限内匀强电场的电场强度的大小E₀；
（3）D点的坐标（L，（1+$\sqrt{2}$）L）；
（4）粒子由A点运动到D点所用的时间（2$+\frac{7}{8}π$）$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，画出运动轨迹图，根据几何知识及圆周运动基本公式解答，同时掌握平抛运动规律，及运动的合成与分解内容，难度适中．