Question

12．如图所示，真空室内有一个点状的α粒子放射源P，它向各个方向发射α粒子（不计重力），速率都相同，ab为P点附近的一条水平直线（P到直线ab的距离PC=L），Q为直线ab上一点，它与P点相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L（现只研究与放射源P和直线ab同一平面内的α粒子的运动），当真空室内（直线ab以上区域）只存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，不同方向发射的α粒子若能到达ab直线，则到达ab直线时它们动能都相等，已知水平向左射出的α粒子也恰好到达Q点．（α粒子的电荷量为+q，质量为m，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）α粒子的发射速率；
（2）匀强电场的场强大小和方向；
（3）当仅加上述磁场时，能到达直线ab的α粒子所用最长时间和最短时间的比值．

Answer 1

分析 （1）当只存在匀强磁场时，α粒子由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，画出α粒子的运动轨迹，由几何知识求出α粒子做匀速圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出α粒子的发射速率；
（2）当只存在匀强电场时，α粒子做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学结合求解匀强电场的场强大小、方向；
（3）当仅加上述磁场时，根据几何知识确定出轨迹的圆心角，然后求出时间．

解答 解：（1）设α粒子做匀速圆周运动的半径R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图所示，

由几何知识可得：$\frac{PC}{PQ}=\frac{QA}{QO}$，
代入数据可得α粒子轨迹半径：$R=QO=\frac{5L}{8}$，
洛仑磁力提供向心力：$Bqυ=m\frac{υ^2}{R}$，
解得α粒子发射速度为：$υ=\frac{5BqL}{8m}$；
（2）真空室只加匀强电场时，由α粒子到达ab直线的动能相等，可得ab为等势面，电场方向垂直ab向下．
水平向左射出的α粒子做类平抛运动，由运动学关系可知：
与ab平行方向：$CQ=\frac{L}{2}=υt$，
与ab垂直方向：$PC=L=\frac{1}{2}a{t^2}$，
其中$a=\frac{Eq}{m}$，
解得：$E=\frac{{25qL{B^2}}}{8m}$；
（3）真空室只加磁场时，圆弧O₁和直线ab相切于D点，α粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示．

则：$sinβ=\frac{L-R}{R}$=$\frac{3}{5}$，β=37°，
最大圆心角：γ_max=360°-90°-37°=233°，
最长时间：${t_1}=\frac{{{γ_{max}}}}{360°}T$，
圆弧O₂经C点，α粒子转过的圆心角最小，运动时间最短．
则：$sinθ=\frac{{\frac{L}{2}}}{R}$=$\frac{4}{5}$，θ=53°，
最小圆心角：γ_min=2θ=106°，
最短时间：${t_2}=\frac{{{γ_{min}}}}{360°}T$，
则最长时间和最短时间的比值为：$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{{γ_{max}}}}{{{γ_{min}}}}=\frac{233}{106}$（或2.20）；
答：（1）α粒子的发射速率为$\frac{5BqL}{8m}$；
（2）匀强电场的场强大小为$\frac{{25qL{B^2}}}{8m}$，方向：垂直ab向下；
（3）当仅加上述磁场时，能到达直线ab的α粒子所用最长时间和最短时间的比值为$\frac{233}{106}$．

点评 本题的突破口是确定α粒子在匀强磁场中和匀强电场中的运动轨迹，由几何知识求解磁场中圆周运动的半径．