Question

3．某空间存在一竖直向下的匀强电场和圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，如图所示．一质量为m，带电量为+q的粒子，从P点以水平速度v₀射入电场中，然后从M点射入磁场，从N点射出磁场．已知，带电粒子从M点射入磁场时，速度与竖直方向成30°角，弧MN是圆周长的$\frac{1}{3}$，粒子重力不计．求：
（1）电场强度E的大小．
（2）圆形区域的半径R．
（3）带电粒子从P点到N点，所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中仅受竖直向下的电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学结合求解．
（2）粒子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何关系求解R．
（3）分两个过程分别求出时间，即可得到总时间．

解答 解：（1）在电场中，粒子经过M点时的速度大小 v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v₀
竖直分速度 v_y=v₀cot30°=$\sqrt{3}{v}_{0}$
由h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2a}$，a=$\frac{qE}{m}$得
E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$
（2）粒子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，设轨迹半径为r．
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
根据几何关系得：R=rtan30°=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
（3）在电场中，由h=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$得 t₁=$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$；
在磁场中，运动时间 t₂=$\frac{1}{6}$T=$\frac{1}{6}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
故带电粒子从P点到N点，所经历的时间 t=t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$+$\frac{πm}{3qB}$．
答：
（1）电场强度E的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$．
（2）圆形区域的半径R是$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$．
（3）带电粒子从P点到N点，所经历的时间t是$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$+$\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式．