Question

7．如图所示为三个相邻的足够长的匀强电场和匀强磁场区域，边界PP′、QQ′、MM′、NN′相互平行．取PP′上某点为O点，垂直PP'向下建立y轴．竖直方向电场强度大小为E，宽度都为d．水平磁感强度大小为B，宽度为2d．带电量为-q、质量为m、重力不计的带电粒子，从O点以一水平初速度v₀向左进入电场I．
（1）求粒子从O点出发后进入磁场区域II的速度大小；
（2）当E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$、B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$时，该电荷恰好不能进入电场Ⅲ，求粒子从PP′出发到第一次返回到边界PP′的这段过程中，粒子的平均速度大小；
（3）当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，分析粒子离开磁场时进入电场I还是Ⅲ？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求解粒子从O点出发后进入磁场区域II的速度大小；
（2）粒子在电场中类平抛运动，在磁场中匀速圆周运动，画出运动的轨迹，粒子的位移大小等于在电场中的水平位移和磁场中的弦长，求出电场和磁场中运动的总时间，根据平均速度的定义求解平均速度大小；
（3）写出粒子在磁场中纵坐标的最大位置与QQ'的距离表达式，再讨论得出结论；

解答 解：（1）在电场中偏转，根据动能定理有：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$
（2）电场I中：
将$E=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$带入得：v=2v₀
在电场中类平抛运动，竖直方向：$d=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$ 
解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}^{\;}}$
水平位移：x₁=v₀t₁=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$ 
得${t}_{1}^{\;}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}^{\;}}$
带电粒子运动部分轨迹如图，

由cosα=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}$得：α=60⁰
磁场中：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得：$r=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
在磁场中运动时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{2α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$
x₂=2rsinα
全程：${v}_{平}^{\;}=\frac{2{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}}{2{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}}$
解上述方程得：${v}_{平}^{\;}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+π}{v}_{0}^{\;}$
（3）若磁场不受2d宽度限制，粒子在磁场中纵坐标最大的位置与QQ'的距离
△y=r（1-cosα）=$\frac{mv}{qB}（1-\frac{{v}_{1}^{\;}}{v}）$=$\frac{m}{qB}（v-{v}_{1}^{\;}）$=$\frac{m}{qB}$（$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}-{v}_{1}^{\;}$）=$\frac{m}{qB}\frac{{v}_{y}^{\;}}{\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}+{v}_{1}^{\;}}$
可见，v₁越小，△y越大，轨迹的纵坐标的最大值反而越大．所以，当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，粒子进入区域Ⅲ．
答：（1）粒子从O点出发后进入磁场区域II的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$；
（2）当E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$、B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$时，该电荷恰好不能进入电场Ⅲ，粒子从PP′出发到第一次返回到边界PP′的这段过程中，粒子的平均速度大小为$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+π}{v}_{0}^{\;}$；
（3）当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，粒子离开磁场时进入电场Ⅲ

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，关键是明确运动过程，画出运动的轨迹，根据牛顿第二定律、类似平抛运动的分运动公式并结合几何关系列式求解，有一定的难度．