Question

11．某人设计的“水上撑杆跳远”比赛的设施如图，AB为半径R=16m、圆心角θ=37°的竖直圆弧滑道，与水平滑道BC相切于B点，C端恰位于水池边缘，池水足够深和宽，水面比C点低H=1m，运动员的运动过程简化为如下模型：运动员手握一根足够长的轻质弹性杆从A点由静止滑下，进入水平滑道后适时将杆前端抵在C点（此后装置使杆端不离开C点），用力蹬地滑道后跳起，杆绕C点转到竖直方向且伸直时，运动员放开杆水平飞出，最终脚触水身体竖直落入水中，触水点离C点的水平距离作为比赛成绩．
假设m=60kg的运动员完全按照以上模型完成比赛，在下滑过程中忽略其重心到滑道的距离，在起跳前和触水的瞬间，其重心均比脚底高h=1m（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，忽略空气阻力和滑道上的摩擦阻力）
（1）求运动员刚滑到B点瞬间滑道对他的支持力N的大小；
（2）若放开杆瞬间运动员重心距滑道BC的高度L=3.2m，比赛成绩x=4m，求他起跳蹬滑道做的功W．
（3）若运动员起跳蹬滑道做的功为W₁=180J，求他的最好成绩X_max．

Answer 1

分析 （1）运动员从A滑到B的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律求出其速度，然后由牛顿第二定律求出支持力．
（2）运动员离开撑杆后做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出运动员的初速度，然后由动能定理求出蹬滑道做的功．
（3）应用动能定理求出运动员到达杆顶时的速度，然后应用平抛运动规律求出水平位移．

解答 解：（1）从A到B过程运动员机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv²，
在B点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：N=840N；
（2）运动员离开杆后做平抛运动，
竖直方向：L+H-h=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=v₀t，
代入数据解得：v₀=0.5m/s，
从撑杆到到达最高点过程中，由动能定理得：
W-mg（L-h）=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
代入数据解得：W=150J；
（3）从撑杆到到达最高点过程中，由动能定理得：
W₁-mg（L₁-h）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²，代入数据解得：v₁=$\sqrt{26}$m/s，
竖直方向：L+H-h=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=v₁t，
代入数据解得：x=$\sqrt{18{L}_{1}-4{L}_{1}^{2}}$
当L₁=$\frac{9}{4}$m时，x有最大值，为x_max=4.5m；
答：
（1）运动员刚滑到B点瞬间滑道对他的支持力N的大小为840N；
（2）他起跳蹬滑道做的功W为150m．
（3）他的最好成绩x_max为4.5m．

点评 本题考查了求力、功与水平位移问题，分析清楚运动员的运动过程，应用机械能守恒定律、动能定理、平抛运动规律即可正确解题．