Question

如图所示，A、B质量分别为m_A=1kg，m_B=2kg，AB间用轻质弹簧连接着，弹簧劲度系数k=100N/m，轻绳一端系在A上，另一端跨过定滑轮，B为套在轻绳上的光滑圆环，另一圆环C固定在桌边，B被C挡住而静止在C上，若开始时作用在绳子另一端的拉力F为零，此时A处于静止且刚没接触地面．现用恒定拉力F=15N拉绳子，恰能使B离开C但不能继续上升，不计摩擦且弹簧没超过弹性限度，求：
（1）B刚要离开C时A的加速度；
（2）若把拉力改为F′=30N，则B刚要离开C时，A的加速度和速度．

Answer 1

分析：（1）题中恰能使B离开C但不能继续上升，说明临界情况是弹力等于B的重力，然后对物体A受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度；
（2）B刚要离开C时，弹簧的弹力不变，根据牛顿第二定律求解加速度；对两次上拉过程分别运用动能定理列式后联立求解得到速度．

解答：解：（1）B刚要离开C的时候，弹簧对B的弹力：N=m_Bg
A的受力图如图，由图可得：
G+N-F=m_Aa₁
解得：a₁=15m/s²，竖直向下
（2）当F=0时，弹簧的伸长量：
X₁=

mAg

k

=

1×10

100

=0.1m
当F=15N，且A上升到最高点时，弹簧的压缩量：
X₂=

mBg

k

=

2×10

100

=0.2m
所以A上升的高度：
h=X₁+X₂=0.1+0.2=0.3m
在A上升过程中，根据功能关系：
Fh=m_Agh+△E_p  
所以弹簧弹性势能增加了：
△E_p=m_Agh-Fh=（15-10）×0.3=1.5J  
把拉力改为F′=30N，从A上升到当B恰要离开C时的过程中，弹簧的弹性势能变化相等，根据功能关系，有：F′h-m_Agh-△Ep=

1

2

mA

v

2 A

解得：v_A=3m/s  
此时，根据牛顿第二定律：
F′-（G+N）=m_Aa₂
解得：a₂=0  
答：（1）B刚要离开C时A的加速度为5m/s²；
（2）A的加速度为0，速度为3m/s．

点评：本题切入点在于“恰能使B离开C但不能继续上升”，然后根据平衡条件和牛顿第二定律列式求解加速度，根据功能关系列式求解末速度．