Question

2．如图所示，“”型平行金属导轨LMN和OPQ分别固定，所构成的两个平面其中MNPQ水平光滑，LMOP倾斜粗糙、与水平面的夹角为θ．将两根电阻均为R、质量均为m的导体杆ab和cd，垂直放置在导轨上，cd杆刚好静止．现以MP连线为界，在水平导轨间施加竖直向上的匀强磁场B₁，倾斜导轨间施加垂直斜面向上的匀强磁场B₂，两个磁场的磁感应强度大小均为B，让ab杆在水平恒力作用下由静止开始向右运动．当cd杆再次刚要滑动时ab杆恰好运动了位移x达到最大速度，已知两导轨间距为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，金属导轨的电阻不计．求：
（1）杆ab的最大速度
（2）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中流过杆cd的电量．

Answer 1

分析 （1）对杆cd两个静止状态进行受力分析，得到安培力的大小，进而得到电流，再通过电路得到电动势，最后得到运动速度；
（2）由楞次定律求得平均电动势，进而得到平均电流，再通过电量的定义式求得电量．

解答 解：（1）开始时cd杆静止于斜面上刚好平衡，如图所示，其摩擦力沿斜面向上恰好为最大静摩擦力f，有：f=mgsinθ；
当杆cd再次要滑动时杆ab速度为v_m，其产生的电动势为E₁=BLv_m；与杆cd组成闭合电路，其电流为：${I_1}=\frac{E_1}{2R}$；
杆cd所受的安培力沿斜面向上，其大小F_A=BI₁L；杆cd受到沿斜面向下的最大静摩擦力，由受力平衡可得：F_A=f+mgsinθ；
得：${v}_{m}=\frac{{E}_{1}}{BL}=\frac{2R{I}_{1}}{BL}=\frac{2R•\frac{{F}_{A}}{BL}}{BL}=\frac{2R•2mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{4mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）ab杆运动位移x过程中，杆扫过的面积△S=Lx；
平均电动势为：${E_2}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}$
流过杆的平均电流为：${I_2}=\frac{E_2}{2R}$
流过杆的电量为：$q={I}_{2}△t=\frac{BLx}{2R}$；
答：（1）杆ab的最大速度为$\frac{4mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中流过杆cd的电量为$\frac{BLx}{2R}$；

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，一般由速度求得电动势，再根据电路求得电流，进而得到安培力的表达式；然后我们就可以通过受力分析，应用牛顿第二定律求得运动方程式，并有动能定理求得功、能量的相关问题．