Question

3．水平面上有一木板，质量为M=2kg，板左端放有质量为m=1kg的物块（视为质点），已知物块与木板间动摩擦因数为μ₁=0.2，木板与水平面间的动摩擦因数为μ₂=0.4．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²．
（1）现用水平力F拉动木板，为使物块与木板一起运动而不相对滑动，求拉力F的大小范围？
（2）若拉动木板的水平力F=15N，由静止经时间t₁=4s立即撤去拉力F，再经t₂=1s物块恰好到达板右端，求板长L=？

Answer 1

分析 （1）物块与木块一起运动，拉力F必须大于木板与地面之间的最大静摩擦力，当m与M之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，拉力F达到最大值；
（2）拉动木板的水平力F=15N，在第（1）问拉力的范围内，整体先做匀加速运动，撤去F后，m向右匀减速，M向右匀减速，当M静止后，m继续向右匀减速到木板右端，求出木板静止前的相对位移和木板静止后物块的位移，即可求出木板的长度；

解答 解：（1）M与地面之间的最大静摩擦力${f}_{1}^{\;}={μ}_{2}^{\;}（M+m）g=0.4×（2+1）×10=12N$
当M、m整体一起向右匀加速运动时，当m与M的静摩擦力达到最大静摩擦力时，拉力F最大
对m：${μ}_{1}^{\;}mg=ma$①得$a={μ}_{1}^{\;}g=0.2×10m/{s}_{\;}^{2}=2m/{s}_{\;}^{2}$
对整体：$F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）a$②
代入数据：F-12=（2+1）×2
解得：F=18N
所以拉力F大小范围是12N＜F≤18N
（2）拉动木板的水平力F=15N，M、m一起匀加速运动
根据牛顿第二定律：$a=\frac{F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g}{M+m}=\frac{15-12}{2+1}m/{s}_{\;}^{2}=1m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=4s$时速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=1×4m/s=4m/s$
撤去F后，物块加速度${a}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
对木板：${μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$，
代入数据：$0.2×10-12=2{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=-5m/{s}_{\;}^{2}$
木板向右速度减为0的时间
根据题意t₂=1s物块恰好到达板右端
${t}_{1}^{\;}=\frac{0-{v}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{0-4}{5}s=0.8s$
在${t}_{1}^{\;}$时间内物块的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$═$4×0.8-\frac{1}{2}×2×0．{8}_{\;}^{2}=2.56m$
木板的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4}{2}×0.8=1.6m$
物块相对木板的位移$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=2.56-1.6=0.96m$
根据题意撤去力F后，再经t₂=1s物块恰好到达板右端
所以木板静止后，木块继续运动o.2s
${t}_{1}^{\;}=0.8s$时物块的速度${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=4-4×0.8=0.8m/s$
$△x′={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}$=$0.8×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}_{\;}^{2}=0.12m$
木板长：L=△x+△x′=0.96+0.12=1.08m
答：（1）现用水平力F拉动木板，为使物块与木板一起运动而不相对滑动，拉力F的大小范围为12N＜F≤18N
（2）若拉动木板的水平力F=15N，由静止经时间t₁=4s立即撤去拉力F，再经t₂=1s物块恰好到达板右端，板长L为1.08m

点评 解题的关键是正确对滑块和木板进行受力分析，清楚滑块和木板的运动情况，根据牛顿第二定律及运动学基本公式求解，难度适中．