Question

2．倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k，自然长度为L₀的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为$\frac{{L}_{0}}{4}$时将物块由静止开始释放，重力加速度为g，求：
（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度L；
（2）证明物块做简谐运动；
（3）求弹簧的最大伸长量x．

Answer 1

分析 （1）物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力，三力平衡，根据平衡条件和胡克定律列式求解；
（2）抓住x表示物块相对于平衡位置的位移，根据牛顿第二定律推导回复力是否满足F=-kx，从而证明；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量x．

解答 解：（1）物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力，此时弹簧的弹力等于重力沿斜面分力，由平衡条件得
  k△x=mgsinα
故弹簧的伸长量△x=$\frac{mgsinα}{k}$
所以弹簧长度 L=L₀+△x=L₀+$\frac{mgsinα}{k}$
（2）取沿斜面向下方向为x轴正方向建立x轴，原点在平衡位置．
当物块的位移大小为x时，弹簧伸长量为x+△x，物块所受合力为：
  F_合=mgsinα-k（x+△x）
结合k△x=mgsinα
联立以上各式可得：F_合=-kx
可知物块作简谐运动．
（3）根据简谐运动的对称性，压缩弹簧使其长度为$\frac{{L}_{0}}{4}$时将物块由静止开始释放，故其振幅为：
  A=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$
故其最大伸长量为：x=A+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$+$\frac{mgsinα}{k}$=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$
答：
（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度L是L₀+$\frac{mgsinα}{k}$；
（2）证明见上；
（3）弹簧的最大伸长量x是$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$．

点评 本题考查牛顿第二定律和胡克定律的综合运用，关键是理清过程，确定出平衡位置，得出振幅的大小是解决本题的关键．