Question

5．一个沿水平方向运动的半径为R的半圆柱体，在半圆柱面上搁着一根只能在竖直方向上运动的直杆（套在一个光滑的套管中），直杆的质量为m． 已知在半圆柱体速度为v₀，加速度为a₀时，杆与半圆柱体接触点的角位置为θ．如图所示，求此时半圆柱对竖直杆的支持力．

Answer 1

分析 根据运动的合成与分解规律可明确杆对地的速度和对地的加速度，再由牛顿第二定律可求得半圆柱对竖直杆的支持力．

解答 解：取半圆柱体为参照物，则v、a应为相对速度和相对加速度，竖直杆上的最低点P点相对于圆柱体的速度v相沿圆柱面上P点的切线方向，因此竖直杆的速度（相对于地面）应为v_相和v的矢量和，如下图所示，由几何关系可知v_相=vtanθ．圆柱体表面上P点的加速度由切向加速度a_t与法向加速度a_n组成，其中a_n=$\frac{{v}_{相}^{2}}{R}$，
即a_n=$\frac{{v}^{2}}{Rco{s}^{2}θ}$，P点的对地加速度为a_t、a_n的矢量和，
由图可知acosθ=a₀sinθ-a_ncosθ
解得：a=a₀tanθ--$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
对杆在竖直方向进行分析，由牛顿第二定律可知
F-mg=ma
解得：F=mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
答：此时半圆柱对竖直杆的支持力为mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$

点评 本题考查运动的合成与分解，要注意明确P点相对于地面运动合速度可以看作是球运动的速度以及切向速度的合速度；同时注意速度、加速度及力等矢量均可以进行合成．