Question

（18分）如下图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡。

现在A、B 间加上如下图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．问：

（1）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间最短？

（2）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

Answer 1

解析：

设质点P的质量为m，电量为q，当A、B间的电压为U₀时，

有  q= mg  ①（1分）

当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a₁，

则 q- mg = ma₁         ②（1分）

解得     a₁ = g              ③（1分）

当两板间的电压为-2U₀时，P的加速度向下，其大小为a₂，

则 q+ mg = ma₂           ④（1分）

解得  a₂ =3g              ⑤（1分）

（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O’，则           ⑥（1分）

解得                        ⑦（1分）

因为，所以，质点到达小孔之前能一直加速．（1分）

因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t₀应满足

即                 ⑧（1分）

（2）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’．

设质点释放后向上加速时间为t₁、向上减速时间为t₂，则      （1分）

          （1分）

          ⑨（1分）

由以上各式解得  ，                 ⑩（1分）

因为，，因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O．（1分）

设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时间为t₃，则   ⑾（1分）

解得             ⑿（1分）

因为，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．（1分）

因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为

        ⒀（1分）