如下图1所示.A.B为水平放置的平行金属板.板间距离为d(d远小于板的长和宽).在两板的中心各有小孔O和O’.O和O’ 处在同一竖直线上.在两板之间有一带负电的质点P.已知A.B间所加电压为U0时.质点P所受的电场力恰好与重力平衡.现在A.B 间加上如下图2所示随时间t作周期性变化的电压U.已知周期.在第一个周期内的某一时刻t0.在A.B 间的中点处由静止释放质点P.一段时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（18分）如下图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）。在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 处在同一竖直线上。在两板之间有一带负电的质点P。已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡。

现在A、B 间加上如下图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期（g为重力加速度）。在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．问：

（1）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间最短？

（2）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

解析：

设质点P的质量为m，电量为q，当A、B间的电压为U₀时，有q=mg ①（1分）

当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a₁，则 q-mg=ma₁②（1分）

解得 a₁ = g ③（1分）

当两板间的电压为-2U₀时，P的加速度向下，其大小为a₂，则 q+ mg=ma₂④（1分）

解得 a₂ =3g ⑤（1分）

（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间最短，须使质点释放后一直向下加速运动。设质点释放后经过时间t到达小孔O’，则 ⑥（1分）

解得 ⑦（1分）

因为，所以，质点到达小孔之前能一直加速。（1分）

因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t₀应满足

即 ⑧（1分）

（2）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’。

设质点释放后向上加速时间为t₁、向上减速时间为t₂，则（1分）

（1分）

⑨（1分）

由以上各式解得， ⑩（1分）

因为，，因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O。（1分）

设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时间为t₃，则 ⑾（1分）

解得 ⑿（1分）

因为，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．（1分）

因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为

⒀（1分）

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