Question

如图所示，K是粒子发生器，D₁、D₂、D₃是三块挡板，通过传感器可控制它们定时开启和关闭，D₁、D₂的间距为L，D₂、D₃的间距为

L

2

．在以O为原点的直角坐标系Oxy中有一磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，y轴和直线MN是它的左、右边界，且MN平行于y轴．现开启挡板D₁、D₃，粒子发生器仅在t=0时刻沿x轴正方向发射各种速率的粒子，D₂仅在t=nT（n=0，1，2…T为已知量）时刻开启，在t=5T时刻，再关闭挡板D₃，使粒子无法进入磁场区域．已知挡板的厚度不计，粒子带正电，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，整个装置都放在真空中．
（1）求能够进入磁场区域的粒子的速度大小；
（2）已知从原点O进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0，2cm）的P点，应将磁场边界MN在Oxy平面内如何平移，才能使从原点O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（3

3

cm，6cm）的Q点？
（3）磁场边界MN平移后，进入磁场中速度最大的粒子经过Q点．如果L=6cm，求速度最大的粒子从D₁运动到Q点的时间．

Answer 1

（1）设能够进入磁场区域的粒子的速度大小为v_m，由题意，粒子由D₁到D₂经历的时间为：△t1=mT=

L

vm

（m=1、2…）
粒子由D₂到D₃经历的时间为：△t2=

L

2vm

=

mT

2

t=5T时刻，挡板D₃关闭，粒子无法进入磁场，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T
联立以上三式解得：m=1、2、3
所以，能够进入磁场区域的粒子的速度为：
vm=

L

mT

（m=1、2、3）
（2）进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点，所以R=1cm．粒子在磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力为：qvB=m

v2

R

所以，粒子圆周运动的半径为：R=

mv

Bq

由前可知，进入磁场中粒子的最大速度是最小速度的3倍，故：R′=3R=3cm
由图知：3cosθ+FH=3

3

FH=（6-3+3sinθ）tanθ　　
解得：θ=30⁰ FH=

3 3

2

cm
因此，只要将磁场区域的边界MN平行左移

3 3

2

cm到F点，速度最大的粒子在F点穿出磁场，将沿圆轨迹的切线方向到达Q点．
（3）粒子在K到O之间运动时：v=

L

T

得：t1=

3

2

T
粒子 磁场中的运动：t2=

πR

3v

=

πT

6

粒子从F到Q点做匀速直线运动，时间：t3=

FH

sinθ?v

=

3

2

T
解得：t=t1+t2+t3=(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T
答：（1）能够进入磁场区域的粒子的速度大小为vm=

L

mT

（m=1、2、3）；
（2）只要将磁场区域的边界MN平行左移

3 3

2

cm到F点，速度最大的粒子在F点穿出磁场，将沿圆轨迹的切线方向到达Q点；
（3）磁场边界MN平移后，进入磁场中速度最大的粒子经过Q点．如果L=6cm，求速度最大的粒子从D₁运动到Q点的时间为(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T