Question

在如图所示的xoy坐标系中，仅在x轴上方有垂直于xoy平面向里、范围足够大的匀强磁场Ⅰ．质量为m，电荷量为q的负粒子在xoy平面内运动，某时刻经过y轴上y=a的P点，速度方向与y轴正方向夹角为θ=30°，经过时间t₀粒子第一次经过x轴，速度方向与粒子在P点速度方向相反，不计重力．
（1）求粒子运动的速率v₀和磁场Ⅰ的磁感应强度B₁；
（2）若粒子经过P点时，在x轴上方再叠加一个方向垂直于xoy平面的匀强磁场Ⅱ，使粒子能在磁场中做完整的圆周运动，求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂的大小和方向；
（3）若粒子经过P点时，加一方向在xoy平面内的匀强电场，粒子在复合场中运动时经过了A（2x₀，y_A）、C（x₀，y_C）两点，如图所示，粒子在A点的动能是P点动能的

1

3

，在C点的动能是P点动能的

2

3

，求电场强度E的大小和方向．

Answer 1

（1）粒子在磁场中运动半周，v₀t₀=πr，
圆周运动的半径r=

a

2

sinθ=a，
解得：v0=

πa

t0

又t₀=

1

2

T=

2πm

qB1

，
解得：B1=

πm

qt0

（2）有两种情况：
①B₂与B₁同向，粒子顺时针转动，若最大半径为r₁，对应的（B₁+B₂）最小，
这时qv0(B1+B2)=m

v 20

r1

r₁+r₁sin30°=a，
所以r₁=

2a

3

解得：B2=

πm

2qt0

所以当B₂方向垂直xoy平面向里时，应满足B2≥

πm

2qt0

（B2＞

πm

2qt0

亦可）
②B₂与B₁反向，粒子逆时针转动的半径最大（设为r₂）时，对应的（B₂-B₁）最小，
这时qv0(B2-B1)=m

v 20

r2

r₂-r₂sin30°=a，
解得：B22=

3πm

2qt0

所以B₂方向垂直xoy平面向外时，应满足B2≥

3πm

2qt0

（B2＞

3πm

2qt0

亦可）
（3）粒子从P点到A点，-qUPA=

1

3

EkA-EkP
粒子从P点到A点，-qUPC=

2

3

EkP-EkP
解得：UPA=

π2ma2

3q t 20

=2UPC
即φ_P-φ_A=2（φ_P-φ_C），
所以：φC=

φA+φP

2

所以C点电势与PA连线中点D等电势，
故电场方向沿+x方向，场强大小为：E=

UPA

2x0

=

π2ma2

6qx0 t 20

；
答：（1）粒子运动的速率v₀为

πa

t0

磁场Ⅰ的磁感应强度B₁为

πm

qt0

；
（2）若B₂与B₁同向，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂的大小B2≥

πm

2qt0

；若B₂与B₁反向，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂的大小B2＞

πm

2qt0

；
（3）电场强度E的大小为

π2ma2

6qx0t02

，方向沿+x方向．