Question

15．距土星中心3.2×10⁵km的土星探测器上有一物体，它受到土星的引力为0.38N，己知此物体在地球上重为10N，地球半径，6.4×10³km．
（1）请估算土星质量是地球质量的多少倍？
（2）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星表面高度分别为R和3R（R为土星半径）颗粒A和B每隔时间t距离最近，且颗粒A的周期为T_A．求$\frac{t}{{T}_{A}}$的值．

Answer 1

分析 （1）在地球上和土星上物体受到的重力近似等于万有引力，分别对物体在地球上和土星上，根据万有引力定律公式列式，比较即可求解．
（2）根据轨道半径之比得出A、B的周期之比，抓住经过t时间A、B转过的角度之差等于2π，求出t与T_A的关系．

解答 解：（1）设地球质量为M，地球半径为r₀，土星质量为M₀，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m₀，在地球表面重力为G₀，距土星中心r₀′=3.2×10⁵ km处的引力为G₀′，根据万有引力定律有：${G}_{0}=G\frac{M{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}$，${G}_{0}′=G\frac{{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}{′}^{2}}$，
解得$\frac{{M}_{0}}{M}=95$．
（2）两个岩石颗粒A和B均绕土星做圆周运动，A的轨道半径为2R，B的轨道半径为4R，
根据$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$知，A、B的轨道半径之比为1：2，则周期之比为1：$2\sqrt{2}$，
每隔t时间相距最近，有：$（\frac{2π}{{T}_{A}}-\frac{2π}{{T}_{B}}）t=2π$，
解得$\frac{t}{{T}_{A}}$=$\frac{4}{4-\sqrt{2}}$．
答：（1）土星质量是地球质量的95倍．
（2）$\frac{t}{{T}_{A}}$的值为$\frac{4}{4-\sqrt{2}}$．

点评 解决本题的关键知道星球表面万有引力等于重力，以及知道周期与轨道半径的关系，知道再次相距最近时，两者走过的角度之差等于2π．