Question

4．如图所示，足够长的光滑轨道DQ和半径为R的光滑半圆形轨道ABC在竖直平面内，与水平轨道QC分别相切于Q、C点，Q到C点的距离为2R．质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的P点由静止滑下，刚好能运动到Q点．已知∠POC=60°，求：
（1）滑块滑至半圆形轨道最低点C时对轨道的压力大小；
（2）滑块与水平轨道间的动摩擦因数；
（3）现将滑块从轨道DQ上某点静止释放，要使滑块第一次能经过半圆形轨道ABC而不脱离轨道，释放点离水平轨道的高度必须满足的条件；
（4）若从轨道DQ上离水平轨道的高度h=$\frac{9}{8}$R位置静止释放，滑块最终静止在距Q多远处？

Answer 1

分析 （1）由P到C的过程，根据机械能守恒定律求出滑块滑至C点时的速度，在C点，由重力和轨道的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律求出支持力，从而得到滑块对轨道的压力．
（2）对P→C→Q过程，运用动能定理求动摩擦因数．
（3）要使滑块第一次能经过半圆形轨道ABC而不脱离轨道，有两种情形：一种：滑块能通过最高点A．另一种：滑块最高到达B点．由牛顿第二定律求出最高点的临界速度，由动能定理求解．
（4）结合上题结果，对整个过程，运用动能定理求解．

解答 解：（1）设滑块滑至C点时的速度为v_C，此时半圆轨道对滑块的支持力为F_N
由P到C的过程，由机械能守恒定律得：mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_c²，
在C点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=2mg，
（2）对P→C→Q的过程，由动能定理得：
  mgR（1-cos60°）-μmg•2R=0，
代入数据解得：μ=0.25；
（3）滑块恰好能通过A点时，有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由动能定理有 mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR+μmg•2R
解得 h₁=3R
所以释放点离水平轨道的高度 h≥3R．
若滑块恰好滑到B点，由动能定理得
  mgh₂-mgR-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{3}{2}$R
若滑块恰好滑到C点，由动能定理得
  mgh₃-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{1}{2}$R
所以释放点离水平轨道的高度 $\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R
综上所述，释放点离水平轨道的高度必须满足的条件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R．
（4）当h=$\frac{9}{8}$R时，由于$\frac{1}{2}$R＜$\frac{9}{8}$＜$\frac{3}{2}$R，所以滑块最高点位于PC之间．
根据动能定理得：
  mg•$\frac{9}{8}$R-μmgs=0
解得 x=4.5R
所以滑块最终静止在距Q0.5R远处．
答：
（1）滑块滑至半圆形轨道最低点C时对轨道的压力大小是2mg；
（2）滑块与水平轨道间的动摩擦因数是0.25；
（3）要使滑块第一次能经过半圆形轨道ABC而不脱离轨道，释放点离水平轨道的高度必须满足的条件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R；
（4）滑块最终静止在距Q0.5R远处．

点评 本题综合运用了动能定理和能量守恒定律，解决本题的关键灵活选取研究的过程，明确临界条件，选用适当的规律进行求解．