Question

9．《割绳子》是一款时下深受人们喜爱的益智类小游戏，故事也相当有趣，在适当的时间剪断适当的绳子，让绳子上绑着的糖果掉入绿豆蛙嘴里．难度在于，必须计划好让糖果在掉落的过程中，吃到所有的星星．下图为某一关卡的游戏框架简图，其中O₁、O₂为同一直线上固定绳子的两个钉子，绳长l₁，A点为糖果绕O₂运动的最低点，BC为表面光滑的滑块，与水平方向夹角为 θ，BC长为 l₃，CD为动摩擦因数μ的草地．（糖果可视为质点，取重力加速度g=10m/s²）

（1）若割断绳子使糖果在A点水平抛出，求此时糖果对绳子的拉力．
（2）若糖果抛出后刚好落到滑块顶端，并沿滑块斜面下滑，求A点与滑块顶端B点的水平距离l₂的大小．
（3）若在B点碰撞前后糖果速度大小不变，CD间草地满足什么关系绿豆蛙才能顺利吃到糖果？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理和向心力公式联合求解
（2）根据平抛运动的规律求A点与滑块顶端B点的水平距离l₂的大小
（3）先根据平抛运动的规律求出平抛的竖直位移，再根据动能定理求出CD间的距离

解答 解：（1）根据动能定理：$mg{l}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
根据向心力公式：$T-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{l}_{1}^{\;}}$②
得到T=3mg
由牛顿第三定律得，糖果对绳子拉力T′=3mg
（2）由平抛运动速度方向与水平方向夹角 $tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}=\frac{gt}{{v}_{A}^{\;}}$
可得$t=\frac{{v}_{A}^{\;}tanθ}{g}$
则${l}_{2}^{\;}={v}_{A}^{\;}•t=\frac{{v}_{A}^{2}tanθ}{g}=2{l}_{1}^{\;}tanθ$
（3）设平抛运动位移与水平方向夹角为α，则有tanθ=2tanα
可平抛运动竖直方向位移为 $h={l}_{1}^{\;}ta{n}_{\;}^{2}θ$
设CD间距离为x，糖果运动到D点速度减为0时x最大，
对A-D运动过程应用动能定理
$mgh-μmg{l}_{3}^{\;}cosθ-μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 $x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$
答：（1）此时糖果对绳子的拉力为3mg．
（2）A点与滑块顶端B点的水平距离l₂的大小为$2{l}_{1}^{\;}tanθ$．
（3）若在B点碰撞前后糖果速度大小不变，CD间草地满足关系$x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$绿豆蛙才能顺利吃到糖果

点评 解决本题的关键运动过程的分析，正确运用物理规律，综合考查了向心力公式、动能定理及平抛运动的规律，有一定的难度．