Question

7．如图所示，O、M、N为竖直放置的光滑细杆上的三个点，A、B两点与O点处于同一水平线上，且OM=ON=OA=OB=0.4m．质量为m=0.3kg的圆环穿在细杆上，两根完全相同、原长均为L=0.4m的轻质弹簧，一端与圆环相连，另一端分别固定在A、B两点．现将圆环沿杆拉至M点由静止释放，当圆环下滑到P点时速度最大，已知OP=0.3m，整个过程中弹簧都在弹性限度内，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）圆环经过N点时的速率v和加速度a的大小．

Answer 1

分析 （1）圆环经过P点时速度最大，此时圆环所受的合力为零．根据平衡条件和胡克定律结合求解；
（2）N与M关于O点对称性，可知弹簧在这两个位置时弹性势能相等，从M到N，弹力对圆环做功为0，由动能定理求圆环经过N点时的瞬时速度．

解答 解：（1）圆环经过P点时速度最大，此时圆环所受的合力为0，设轻质弹簧的劲度系数为k，此时弹簧的弹力为F，弹簧的伸长量为△x，弹簧与竖直方向夹角为θ，
在P点竖直方向上由力的平衡可得：2Fcosθ=mg
由几何关系得：△x=$\frac{OP}{cosθ}$-L；cosθ=$\frac{0.3}{0.5}$=0.6
联立解得：k=$\frac{F}{△x}$=25N/m．
（2）圆环从M点到N点的过程中，弹力做功为0，设圆环经过N点的瞬时速度为v，
由动能定理可得：mg（OM+ON）=$\frac{1}{2}$mv²
即：10×（0.4+0.4）=$\frac{1}{2}$×v²
解得：v=4.0m/s
由牛顿第二定律得：2k△x′cos450-mg=ma
△x′=$\frac{OP}{cos4{5}^{0}}$-L=0.4（$\sqrt{2}$-1）
解得：a=$\frac{10×（2-\sqrt{2}）}{0.3}$-g=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．
答：（1）弹簧的劲度系数为25N/m；
（2）圆环经过N点时的速率为4.0m/s；加速度a的大小为=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．

点评 对物理过程进行受力分析和运动过程分析是解决力学问题的根本方法．本题关键要抓住隐含的相等条件和速度最大的临界条件，运用动能定理、平衡条件进行研究．