Question

6．如图所示，在虚线MN上方有一水平向左的匀强电场，场强大小未知，在虚线MN下方有一水平向右的匀强电场，场强大小为E，O是虚线上的一点，一质量为m，带电量为-q的小球从O点开始以初速度v₀向左上方运动，小球恰好能做直线运动，方向与水平方向的夹角为θ，当小球回到O点后进入MN下方的电场中运动，并能经过O点正下方的A点，求：
（1）小球做直线运动的过程中，电势能改变量的最大值；
（2）小球从O点出发运动到A点所用的时间；
（3）小球经过A点时速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球在上方的电场中恰好能做直线运动，则受到电场力和重力的合力必然与初速度相反，做匀减速直线运动，电场力做负功，当速度减为0时，电势能改变量最大；
（2）在上方电场中做匀减速运动，求出时间，再将在下方电场中的运动分解为水平方向的匀变速运动和竖直方向的匀加速运动，求解时间；
（3）求出在A点水平方向和竖直方向的分速度，再合成即可得到速度的大小．

解答 解：（1）在MN上方小球先做匀减速直线运动，电场力做负功，当速度减为0时，电势能改变量最大．受力如图，有：

qE₁tanθ=mg       
F_合=$\frac{mg}{sinθ}$=ma
解得：E₁=$\frac{mg}{qtanθ}$，a=$\frac{g}{sinθ}$
减速运动的位移：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{v}_{0}^{2}sinθ}{2g}$                 
电场力做功：W=qE₁xcos（π-θ）=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ
则电势能改变量的最大值为：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ
（2）小球在上方的电场中运动过程：2v₀=at₁      
解得：t₁=$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}$
再次回到O点时，v=v₀      
从O点到A点过程，水平方向：qE=ma_x，2v₀cosθ=a_xt₂     
解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$
从O点出发运动到A点所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}+\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$
（3）到A点时：v_x=v₀cosθ，v_y=v₀sinθ+gt₂         
v_A=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$?
解得：v_A=$\frac{{v}_{0}}{qE}$$\sqrt{{q}^{2}{E}^{2}+2mgqEsin2θ+4{m}^{2}{g}^{2}co{s}^{2}θ}$     
答：（1）电势能改变量的最大值为$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ；
（2）小球从O点出发运动到A点所用的时间为$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}+\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$；
（3）小球经过A点时速度的大小为$\frac{{v}_{0}}{qE}$$\sqrt{{q}^{2}{E}^{2}+2mgqEsin2θ+4{m}^{2}{g}^{2}co{s}^{2}θ}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在复合场中的运动，关键是根据牛顿第二定律求解加速度，结合运动的合成与分解求解时间、速度．