Question

如图所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L=0.5m，导轨沿与水平方向成θ=30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R=3Ω的电阻．现将一根长也为L质量为m=0.2kg、电阻r=2Ω的均匀金属棒，自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，下滑中均保持与轨道垂直并接触良好，经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀强磁场中，如图所示．磁场上部有边界OP，下部无边界，磁感应强度B=2T．金属棒进入磁场后又运动了一段距离便开始做匀速直线运动，在做匀速直线运动之前这段时间内，金属棒上产生了Q_r=2.4J的热量，且通过电阻R上的电荷量为q=0.6C，取g=10m/s²．求：
（1）金属棒匀速运动时的速v₀；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，其加速度a的大小及方向；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S．

Answer 1

（1）根据平衡条件得F_安=mgsinθ
          又F_安=BIL，I=

E

R+r

，E=BLv0
         得到F_安=

B2L2v0

R+r

         联立解得
              v₀=

mg(R+r)sinθ

B2L2

=5m/s
      （2）由牛顿第二定律，得
             mgsinθ-F_安=ma
         得到a=gsinθ-

B2L2v

m(R+r)

=-1m/s2
         说明此时加速度大小为1m/s²，方向沿斜面向上．
    （3）由于金属棒r和电阻R上电流时刻相同，由焦耳定律Q=I²Rt，得知Q∝R
         则R产生的热量为Q_R=

R

r

Qr=3.6J
        金属棒匀速运动整个电路产生的总热量Q=Q_R+Q_r=6J
        在该过程中电路的平均电流为I=

E

R+r

=

△φ

△t(R+r)

        设匀速前金属棒在磁场中位移为x，则此过程中通过R的电量为q=I?△t=

△φ

R+r

=

BLx

R+r

        从释放到刚匀速运动过程中，由能量守恒定律得
                mgsinθ（S+x）=

1

2

m

v

20

+Q
       联立上式，解得S=

m v 20 +2Q

2mgsinθ

-

q(R+r)

BL

=5.5m
答：（1）金属棒匀速运动时的速v₀为5m/s；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，加速度大小为1m/s²，方向沿斜面向上；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S为5.5m．