Question

（2013?浙江模拟）近年来，越来越高的摩天大厦在世界各地落成．日本东京的千年塔设计170层、840米高，而由西班牙著名建筑设计大师哈韦尔皮奥斯设计的上海“超群大厦”甚至将高达1249.9米．然而，至今普遍使用的钢索吊挂式电梯已经不再适台这样的高度，因为需要的钢索太长、太重会因承受不了自身的重量而断裂．为此德国亚琛工业大学的科研人员设计出了一种磁动力电梯，其原理是利用移动的磁场来带动电梯向上或向下运动．工作原理可简化如下：如图所示，PQ和MN是两根平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的等大反向匀强磁场B₁和B₂，B₁=B₂=1T，两磁场可向上作匀速运动．电梯轿厢固定在金属框abcd内（轿厢未画出）．现己知电梯载人时的总质量为m=1.0×10⁴kg，运动时所受阻力f=1000N，金属框垂直轨道的边长L_cd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框的总电阻为R=1.0×10^-3Ω，某时段磁场以v₀=10m/s的速度向上匀速运动，g=10m/s²求：
（1）电梯速度为零时，它的加速度为多大？
（2）电梯最后向上匀速运动的速度为多大？
（3）电梯向上匀速运动时，外界提供的能量转变为电梯机械能的效率？

Answer 1

分析：（1）电梯速度为零时，相对于磁场的速度为v₀，线框的上下两边都切割磁感线，求出安培力的大小，通过牛顿第二定律求出电梯的加速度．
（2）金属框匀速上升时，ab、cd两均切割磁感线产生感应电动势，两边均受到安培力，根据平衡条件和右手定则可确定感应电流的大小和方向．由欧姆定律和感应电动势公式求出磁场向上运动速度v₀的大小．
（3）根据功率公式求出重力、阻力和电热功率，进而求出效率．

解答：解：（1）切割产生的感应电动势E=2BLv₀    ①
根据欧姆定律得，I=

E

R

              ②
则F_A=2BIL ③
根据牛顿第二定律得，a=

FA-mg-f

m

        ④
代入数据解得a=5.9m/s²
（2）令最后电梯运动速度为v，则有
E′=2BL（v₀-v）  ⑤
根据欧姆定律得，I′=

E′

R

      ⑥
F_A′=2BI′L=mg+f    ⑦
代入数据解得v=3.7m/s  
（3）外界提供的能量转变为电梯机械能的效率η=

mgv

mgv+fv+I′2R

×100%=37%．
答：（1）电梯速度为零时，它的加速度为5.9m/s²．
（2）电梯最后向上匀速运动的速度为3.7m/s．
（3）电梯向上匀速运动时，外界提供的能量转变为电梯机械能的效率为37%．

点评：本题是理论联系实际的问题，与磁悬浮列车模型类似，关键要注意磁场运动，线框相对于磁场向下运动，而且上下两边都切割磁感线，产生两个电动势，两个边都受安培力．