Question

11．如图所示，在xoy平面内y＞0的区域中存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，在y＜0的区域也存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子从y轴上的P点垂直磁场射入，速度方向与y轴正向成60°．粒子第一次进入y＜0的区域时速度方向与x轴正向成150°，再次在y＞0的区域运动时轨迹恰与y轴相切．已知OP的距离为2$\sqrt{3}$a，粒子的重力不计，求：
（1）y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通过x轴时离O点的距离．

Answer 1

分析 （1）若粒子在y＞0区域通过y轴时的速度方向沿y轴负方向，作出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出粒子在上方磁场中做圆周运动的半径，以及在下方磁场做圆周运动的半径，根据半径之比，结合半径公式求出磁感应强度之比，从而得出y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小．若粒子在y＞0区域通过y轴时的速度方向沿y轴正方向，同理求出y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小．
（2）根据几何关系求出粒子第2n（n∈N⁺）次通过x轴时离O点的距离．

解答 解：（1）由$\overline{OP}=2\sqrt{3}a$得直径为：$\overline{PQ}=\frac{\overline{OP}}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4a$，
则在上方圆周运动的半径为：${R}_{0}=\frac{1}{2}\overline{PQ}=2a$，
若粒子在y＞0区域通过y轴时的速度方向沿y轴负方向，
设粒子在y＜0的区域运动轨迹半径为R₁，由几何关系有：
${R}_{1}=\overline{MQ}=\overline{PO}tan30°+{R}_{0}+{R}_{0}cos60°$，
解得：R₁=5a．
由$R=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{0}}=\frac{{B}_{0}}{{B}_{1}}$，
解得：${B}_{1}=\frac{2}{5}{B}_{0}$．
若粒子在y＞0区域通过y轴时速度方向沿y轴正方向，
依据几何关系有：$\overline{{O}_{2}N}$-R₀cos60°$+{R}_{2}=\overline{QO}$
解得：R₂=a．
由R=$\frac{mv}{qB}$得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{0}}=\frac{{B}_{0}}{{B}_{2}}$，
解得：B₂=2B₀．
（2）粒子在y＞0区域通过y轴时速度方向沿y轴负方向情况：
S₁=$n（\overline{MQ}-\overline{OQ}）$=3an，（n∈N⁺）
粒子在y＞0区域通过y轴时速度方向沿y轴正方向情况：
S₂=$n（\overline{OQ}-\overline{SQ}）$=na，（n∈N⁺）
答：（1）y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小为$\frac{2}{5}{B}_{0}$或2B₀；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通过x轴时离O点的距离为S₁=$n（\overline{MQ}-\overline{OQ}）$=3an，（n∈N⁺）或S₂=$n（\overline{OQ}-\overline{SQ}）$=na，（n∈N⁺）．

点评 考查了带电离子在磁场中的运动，根据题意作出粒子的运动轨迹是正确解题的前提与关键，应用几何知识与牛顿第二定律即可正确解题，注意多解问题．