Question

11．如图所示，让摆球从图中的C点由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，D点与小孔A的水平距离s=2m，g取10m/s²．试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围？

Answer 1

分析 （1）对CD段运用动能定理，求出小球到达最低点的速度，结合牛顿第二定律，通过拉力和重力的合力提供向心力求出绳子的拉力．
（2）首先找出进入圆弧的临界条件，再据动能定理求摩擦因数μ的范围．摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道有两种情况：一种能做完整的圆周运动．另一种在下半个圆周上运动．

解答 解（1）对CD段，由动能定理，得：mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
摆球第一次经过最低点时，摆线的拉力最大，由牛顿第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
代入数据解得：T=10N
由牛顿第三定律知，摆线能承受的最大拉力为10N．
（2）要使摆球能进入圆轨道，所以到达A点的速度大于零，据动能定理得：
-μ₁mgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入数据解得：μ₁=0.5
若小球进入圆轨道且最高不超过与圆心等高处，所以在等高处最大速度为零，再据动能定理得：
-μ₂mgs-mgR=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
 代入数据解得：μ₂=0.35
以上可知，使摆球能进入圆轨道且最高不超过与圆心等高处，小球与水平面的动摩擦因数0.35≤μ＜0.5．
若小球进入圆轨道能通过最高点，临界情况有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
从D到圆周最高点的过程，由动能定理得：
-μ₃mgs-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入数据解得：μ₃=0.125
综上所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ＜0.5或者μ≤0.125 
答：（1）摆线能承受的最大拉力为10N．
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，粗糙水平面摩擦因数μ的范围为0.35≤μ＜0.5或者μ≤0.125．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，运用动能定理解题，关键确定研究的过程，分析过程中有哪些力做功，结合动能定理列式研究．