Question

5．某高中校区拟采购一批实验器材，增强学生对电偏转和磁偏转研究的动手能力，其核心结构原理可简化为如图所示：AB、CD间的区域有竖直方向的匀强电场，在CD的右侧有一与CD相切于M点的圆形有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面．一带电粒子自O点以水平初速度v₀正对P点进入该电场后，从M点飞离CD边界时速度为2v₀，再经磁场偏转后又从N点垂直于CD边界回到电场区域，并恰能返回O点．已知OP间距离为d，粒子质量为m，电量为q，粒子自身重力忽略不计．试求：
（1）P、M两点间的距离；
（2）返回O点时的速度大小；
（3）磁感强度的大小和有界匀强磁场区域的面积．

Answer 1

分析 （1）求出粒子在M点的速度，由运动学公式求出P、M两点间的距离；
（2）由速度公式与运动的合成与分解求出粒子回到O点的速度；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子轨道半径，求出磁场区域半径，然后求出磁感应强度的大小和磁场区域的面积．

解答 解：（1）在M点，粒子速度：${v_{My}}=\sqrt{{{（2{v_0}）}^2}-{v_0}^2}=\sqrt{3}{v_0}$，
由运动学公式得：$PM=\frac{{{v_{My}}}}{2}•\frac{d}{v_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}d$；
（2）由于：${t_{NO}}=\frac{1}{2}{t_{OM}}$，
故由v_y=at可知，返回O点时：${v_{Oy}}=\frac{1}{2}{v_{My}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{v_0}$，
所以回到O点时：$v'=\sqrt{{{（2{v_0}）}^2}+{v_{Oy}}^2}=\frac{{\sqrt{19}}}{2}{v_0}$；
（3）由${t}_{NO}=\frac{1}{2}{t}_{OM}$和$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$  可得：$PN=\frac{1}{4}PM=\frac{\sqrt{3}}{8}d$
再由几何关系：$Rcos60°+R=PN+PM=\frac{5\sqrt{3}}{8}d$  
由几何关系确定轨迹半径：$R=\frac{{5\sqrt{3}}}{12}d$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{qB}$，$B=\frac{{8\sqrt{3}m{v_0}}}{5qd}$，
由几何关系确定区域半径为：$R'=\frac{5}{4}d$，则：$S=π{R'^2}=\frac{{25π{d^2}}}{16}$；
答：（1）P、M两点间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$d；
（2）返回O点时的速度大小为$\frac{\sqrt{19}}{2}$v₀；
（3）磁感强度的大小和有界匀强磁场区域的面积为$\frac{25π{d}^{2}}{16}$．

点评 本题考查了求距离、粒子速度、磁场面积等问题，分析清楚粒子运动过程，作出粒子运动轨迹，应用运动学公式与牛顿第二定律即可正确解题．