Question

如图所示，在第一象限内，0＜x≤a的区域中有垂直于纸面向里的匀强磁场，x＞a的区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度的大小均为B．在原点O处有一小孔，一束质量为m、电荷量为q带正电的粒子，沿着x轴方向经小孔射入磁场，最后穿过x轴或y轴离开磁场．已知入射粒子的速率在零到某一最大值之间，速率最大的粒子在0＜x≤a区域内运动的时间为

πm

3Bq

，它离开磁场时运动方向与x轴垂直，不计粒子重力，求：
（1）y轴上粒子射出点到原点O的最大距离
（2）速率最大的粒子离开磁场时的x轴坐标
（3）所有粒子在磁场中运动的时间范围．

Answer 1

（1）打到y轴上的粒子均沿半个圆周运动，离O最远的粒子轨迹刚好与两磁场交界线相切（如图轨迹①）
则y_max=2a
（2）速度最大的粒子在0＜x≤a中运动时间

πm

3Bq

=

T

6

其对应的圆心角为60°，所以R=

a

sin60°

=

2 3

3

a
通过x＞a的区域后，离开磁场时与x轴垂直，说明圆心在x轴上（如图轨迹②）
由几何关系可知，对应的圆心角为150°
x=R+2Rsin60°=2a+

2 3

3

a
（3）穿过y轴的所有粒子运动时间均为t₁=

T

2

=

πm

Bq

穿过x轴的粒子运动时间在如图轨迹②与轨迹③之间，
按轨迹②的运动，时间t₂′=

7T

12

=

7πm

6Bq

按轨迹③的运动，时间t₂″=T=

2πm

Bq

所以运动时间范围是t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）
答：（1）y轴上粒子射出点到原点O的最大距离为2a；
（2）速率最大的粒子离开磁场时的x轴坐标为2a+

2 3

3

a；
（3）所有粒子在磁场中运动的时间范围为t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）．