Question

8．如图所示，两根光滑金属导轨MN、PQ间距为L，电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．两金属棒ab、cd质量分别为m和2m，电阻均为R，用一细线相连垂直于导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，棒ab受到一平行于导轨向上的恒定外力F（未知）作用，使两棒恰好在导轨上静止．整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为g．某一时刻，将两棒间的细线剪断，导轨足够长，求：
（1）细线剪断瞬间，金属棒ab的加速度；
（2）两棒分别达到的最大速度是多少；
（3）当两棒达到最大速度后，经过t时间，金属棒ab产生的热量为多少？

Answer 1

分析 （1）对整体分析，求出烧断细线前，拉力的大小，烧断细线后的瞬间，棒的速度为0，不受安培力；求出合力，根据牛顿第二定律求出ab棒的加速度．
（2）当ab棒和cd棒加速度为零时，速度均达最大，根据受力平衡，结合闭合电路欧姆定律动量守恒定律求出棒能达到的最大速度．
（3）当两棒达到最大速度后，电路中的电流值不再变化，由Q=I²Rt即可求出经过t时间的过程中金属棒ab产生的热量．

解答 解：（1）烧断细线前拉力设为F，则F=3mgsinθ．
烧断细线的瞬间，对ab棒，设此时ab棒的速度仍然是0，所受安培力的大小为，由牛顿第二定律得：
F-mgsinθ=ma．
所以：a=2gsinθ
方向沿斜面向上
（2）烧断细线后cd棒向下运动；当ab棒和cd棒加速度为零时，速度均达最大，设此时ab棒和cd棒的速度大小分别为v₁、v₂
由ab棒受力平衡：F-mgsinθ-BId=0
由cd棒受力平衡：2mgsinθ=BId
此时回路中总的电动势：E=Bd（v₁+v₂）
电路中电流：$I=\frac{E}{2R}$
由动量守恒定律：mv₁-2mv₂=0
由以上各式解得：${v}_{1}=\frac{8mgRsinθ}{3{B}^{2}{d}^{2}}$；${v}_{2}=\frac{4mgRsinθ}{3{B}^{2}{d}^{2}}$．
（3）当两棒达到最大速度后，电路中的电流值不再变化，$I=\frac{E}{2R}=\frac{Bd（{v}_{1}+{v}_{2}）}{2R}$
由Q=I²Rt
联立得：Q=$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}Rt•si{n}^{2}θ}{{B}^{2}{d}^{2}}$．
答：（1）细线剪断瞬间，金属棒ab的加速度是2gsinθ，方向沿斜面向上；
（2）两棒达到的最大速度分别是$\frac{8mgRsinθ}{3{B}^{2}{d}^{2}}$和$\frac{4mgRsinθ}{3{B}^{2}{d}^{2}}$．
（3）当两棒达到最大速度后，经过t时间，金属棒ab产生的热量为$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}Rt•si{n}^{2}θ}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 本题属于电磁感应定律的综合应用，综合考查了牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、动量守恒定律，综合性强，本题的难点是双杆模型，两杆切割都产生感应电动势而且两个电动势之间的串联的关系．