Question

质量为m、电荷量为+q的绝缘小珠（图1），穿在半径为r的光滑圆形轨道上，轨道平面水平．空间有分布均匀且随时间变化的匀强磁场，磁场方向竖直向上，磁感应强度B（t）的变化规律如图2所示．
（1）若圆环由金属材料制成，求圆环上感应电动势E的大小；
（2）若圆环由绝缘体材料制成，已知t＜T内，圆环处的感应电场的场强方向是沿顺时针并指向圆环的切线方向，大小为E=

ε

2πr

；t=0时刻小珠静止，求t＞T时，轨道对小珠的作用力F．（忽略小珠的重力）

Answer 1

分析：（1）由乙图看求磁感应强度的变化率，进而得到磁感应电动势，由于磁感应强度是分两种变化的，故应该分两个时间段讨论0～T和T以后
（2）在t≤T前，小球在电场力作用下做加速运动，可求得运动时间T的速度，在t＞T后，由于ε=0，∴E=0，小珠将作匀速圆周运动，由向心力表达式，可得轨道对小球的作用力．

解答：解：（1）由图乙可知，在t≤T时，磁场均匀增大，变化率为：

△B

△t

=

B0

T

环中感应电动势：ε=

△φ

△t

=

△B

△t

s=

πr2B0

T

在t＞T时，磁场稳定，

△B

△t

=0，因此：ε=0
（2）在t≤T时，由题意产生的感应电场E方向沿切向，且大小恒定，可知小珠在环上沿切向的运动可等效于匀加速直线运动，因此在t=T时刻V=aT
加速度：a=

qE

m

=

qε

2πrm

=

qrB0

2mT

，可得：V=

qrB0

2m

在t＞T时，由于ε=0，∴E=0，小珠将作匀速圆周运动．
设F方向指向圆心，由向心力表达式：F+qVB0=m

V2

r

代入已知可解得：F=-

q2r B 2 0

4m

可知F的实际方向为沿半径向外．
答：（1）若圆环由金属材料制成，求圆环上感应电动势E的大小为在t≤T时：ε=

πr2B0

T

，在t＞T时，磁场稳定?=0
（2）若圆环由绝缘体材料制成，已知t＜T内，圆环处的感应电场的场强方向是沿顺时针并指向圆环的切线方向，大小为E=

ε

2πr

；t=0时刻小珠静止，求t＞T时，轨道对小珠的作用力F=

q2r B 2 0

4m

，方向沿半径向外．

点评：解答本题需注意的是磁场的变化是分两个阶段的，故在解答是应注意将时间段讨论．