Question

【题目】如图甲所示，带正电的粒子以水平速度v0，从平行金属板MN间中线OO′连续射入电场中。极板MN间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，电场只存于MN板之间。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕。金属板MN间距为d，长度为L，磁场B的宽度为d。已知：B=5.0×10-3T，L=d=0.20m，每个带正电粒子的速度v0=1.0×105m/s，比荷q/m=1.0×108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。试求：

（1）t=0时刻射入电场的带电粒子，进入磁场后做圆周运动的半径；

（2）当电压UMN为多少时，粒子恰好从下极板边缘进入磁场；

（3）带电粒子打在屏幕EF上的长度。[第（3）问结果保留两位有效数字]

Answer 1

【答案】（1）0.20m（2）100V（3）0.38m

【解析】

（1）t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速，粒子在磁场中运动时

代入数据解得：

（2）设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有：

时间为：

位移时间关系为：

解得：U1=100V

（3）带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有：

则：

又：

可得：

带电粒子射出电场时的速度最大，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。设带电粒子以最大速度射出电场，进入磁场中做圆周运动打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示。由数学知识可得，运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示：

并且Q点必与M板在同一水平线上。则

由第（1）问计算可知，t=0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径最小：rmin=d=0.2m

径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则=rmin=0.2m

故带电粒子打在屏幕EF上的长度为