Question

如图所示，、、为三个质点，的质量远远大于、的质量，和的质量相等。已知、之间，、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动：

A、、的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点的质量远远大于、的质量，可认为该轴过质点且固定不动；连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等，且，。

若之间吸引力的大小，之间吸引力的大小为，其中、分别为、与、之间的距离，为比例系数，不计重力的影响。试问的值在什么范围内，上述运动才能实现？

Answer 1

解法1：

以表示质点的质点，表示连线与竖直方向的夹角，表示转动角速度，表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有

，                           （1）

，                                             （2）

，                          （3）

。                                             （4）

由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得

。                                       （5）

考虑到几何关系

                                                               （6）

并利用已知和的表示式。可由（5）得到

                                                         （7）

又，由（2）、（4）式可得。                       （8）

带入已知的和的表达式可得

。                                                          （9）

联立（7）、（9）从而有

。                               （10）

如果，则意味着方程

                                                   （11）

在区间有两个不同的解，其中为某一合适的常数。这要求函数在区间不能是单调函数，也就是说和不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时，若增大，则应减小；反之，若减小，则应增大，故与同号。因此有

                                                                           （12）

。                                                                        （13）

对，可知在及时均为零，因此在区间一定存在极值点，意味着方程（11）在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。

评分标准：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下说明共4分。

解法2：

如图，设、间的排斥力是，它们受到的吸引力分别是、，向心力分别是、，距离分别是、；根据三角形的相似关系，有

，                                                               （1a）

。                                                        （2a）

以上两式相比可得

                                                        （3a）

依题意有

，                                                              （4a）

，                                                  （5a）

，                                                  （6a）

将（4a）~（6a）代入（3a）得

。                                       （7a）

由（7a）得

。                               （8a）

之后的讨论与“参考解答1”相同。

评分标准：考虑“参考解答1”。