Question

1．如图所示，在无限长的水平边界AB和CD间有一匀强电场，同时在AEFC、BEFD区域分别存在水平向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小相同，EF为左右磁场的分界线．AB边界上的P点到边界EF的距离为（2+$\sqrt{3}$）L．一带正电微粒从P点的正上方的O点由静止释放，从P点垂直AB边界进入电、磁场区域，且恰好不从AB边界飞出电、磁场．已知微粒在电、磁场中的运动轨迹为圆弧，重力加速度大小为g，电场强度大小E（E未知）和磁感应强度大小B（B未知）满足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考虑空气阻力，求：
（1）O点距离P点的高度h多大；
（2）若微粒从O点以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平抛，且恰好垂直下边界CD射出电、磁场，则微粒在电、磁场中运动的时间t多长？

Answer 1

分析 （1）微粒在进入电磁场前做匀加速直线运动，在电磁场中做匀速圆周运动，应用牛顿第二定律与动能定理可以求出O到P的距离．
（2）微粒在进入电磁场前做平抛运动，在电磁场中做匀速圆周运动，根据微粒做圆周运动的周期公式求出微粒的运动时间．

解答 解：（1）微粒在电磁场中做匀速圆周运动，
洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，则：qE=mg，
粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识可得：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，r₁+r₁sinθ=（2+$\sqrt{3}$）L，
解得：r₁=2L，
微粒做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
已知：$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，
解得：h=$\frac{1}{2}$L；
（2）微粒在进入电磁场前做平抛运动，
x₁=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$gt₁²，
代入数据解得：t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，x₁=$\sqrt{3}$L，
微粒在M点的竖直分速度：v₁=$\sqrt{gL}$，
速度：v=2$\sqrt{gL}$，速度与AB夹角：θ=30°，
微粒运动轨迹如图所示：
微粒轨道半径：r₂=4L，由几何知识可知，微从M点粒偏转30°垂直打在EF边界上，
微粒在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$=4π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
由题意可知，微粒的运动时间：t=t₁′+t₂′=$\frac{30°}{360°}$T+$\frac{1}{2}$kT+$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{12}$T+$\frac{1}{2}$kT+$\frac{1}{4}$T（k=0、1、2、…）
解得：t=2π（$\frac{2}{3}$+k）$\sqrt{\frac{L}{g}}$   （k=0、1、2、3、…）；
答：（1）O点距离P点的高度h为$\frac{1}{2}$L；
（2）微粒在电磁场中运动的时间t为2π（$\frac{2}{3}$+k）$\sqrt{\frac{L}{g}}$（k=0、1、2、3、…）．

点评 本题考查了求距离、微粒的运动时间问题，分析清楚微粒运动过程，应用动能定理、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．