Question

13．质点从静止出发，沿直线由A点向B点运动．质点先以加速度a₁做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后以加速度a₂做匀减速直线运动到B点恰好停下．已知AB相距为s，那么要使质点从A点到B点所用时间最短，求：
（1）质点匀速运动的时间是多少？
（2）质点从A点到B点所用最短时间为多少？期间最大速度是多少？

Answer 1

分析 要使质点由A到达B的时间最短，质点必须没有匀速过程，只有匀加速运动和匀减速运动，即质点先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，根据速度公式得到匀加速运动的时间与总时间t的关系，并求出最大速度，根据平均速度公式求出最短时间t．

解答 解：（1）质点从A点到B点所用时间最短，匀速运动的时间为零，只有匀加速运动和匀减速运动．
（2）设最大速度为v，根据平均速度的推论知，$\frac{v}{2}{t}_{1}+\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{v}{2}t=s$，
又$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=s$，
解得v=$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}s}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$，最短时间t=$\sqrt{\frac{2（{a}_{1}+{a}_{2}）s}{{a}_{1}{a}_{2}}}$．
答：（1）质点匀速运动的时间为零．
（2）质点从A点到B点所用最短时间为$\sqrt{\frac{2（{a}_{1}+{a}_{2}）s}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度为$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}s}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．

点评 本题涉及两个过程的运动学问题，关键要抓住两个过程之间速度联系．也可以运用作速度图象的方法求解．