Question

8．如图所示，一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子的另一端使小球在水平板上绕O做半径为a，角速度为ω₁的匀速圆周运动．若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O改做半径为$\sqrt{2}$a的匀速圆周运动，则：
（1）从绳子放松到拉紧经过多少时间？
（2）小球改做半径为$\sqrt{2}$a的匀速圆周运动时的角速度ω₂多大？
（3）求这一过程中绳子拉力对小球做的功？

Answer 1

分析 （1）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，结合几何关系，可求运动时间；
（2）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，到绳子突然张紧时，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由牛顿第二定律和线速度与角速度的关系公式可求出角速度的大小．
（3）由动能定理可以求出绳子对小球做的功．

解答 解：（1）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，如图；

由几何关系，位移为：x=$\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-{a}^{2}}$=a，
线速度为：v₁=ω₁a；
故放开过程的时间为：t=$\frac{x}{{v}_{1}}$=$\frac{a}{{ω}_{1}a}$=$\frac{1}{{ω}_{1}}$．
（2）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达新轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，
沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕新轨道匀速圆周运动，如图；

由几何关系得到，由v₂=v₁sinθ=ω₁a×$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}{ω}_{1}a}{2}$，
线速度：ω₂=$\frac{{v}_{2}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{{ω}_{1}}{2}$．
（3）由动能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=-$\frac{1}{4}$mω₁²a²；
答：（1）从绳子放松到拉紧经过的时间为$\frac{1}{{ω}_{1}}$．
（2）小球改做半径为$\sqrt{2}$a的匀速圆周运动时的角速度ω₂为$\frac{{ω}_{1}}{2}$．
（3）这一过程中绳子拉力对小球做的功为-$\frac{1}{4}$mω₁²a²．

点评 解决本题的关键知道松手后，小球沿切线方向飞出，绷紧后，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动．