Question

1．如图（a），长为L的光滑斜面AB与高台边缘光滑相接，BC为一竖直墙，将小球从斜面AB的顶端静止释放，小球到达斜面底端后恰能无能量损失地从高台边缘水平飞出．高台底部有另一足够长的斜面CD．调节斜面AB的倾角α与斜面CD的倾角β，使小球从斜面AB顶端静止释放后，恰能垂直击中斜面CD．不计空气阻力，重力加速度为g，α、β为锐角．求：

（1）小球在空中飞行时间t（用α、β和L表示）？
（2）某一研究小组取长为L=0.5m的斜面AB进行实验，实验中发现改变斜面AB的倾角α后，为了使从AB顶端静止释放的小球还能垂直击中斜面，只需对应地调整斜面CD的倾角β．多次实验并记录每次α与β的数值，由实验数据得出图（b）所示拟合直线．请问此坐标系的横轴表示什么？试求竖直墙BC的高度h（取g=10m/s²）？
（3）在第（2）问中，该研究小组发现，小球每次垂直打在CD上的落点与竖直墙BC的距离S随α和β的改变而不同．试求小球在CD上的落点离竖直墙的最大距离S_m？此时倾角α与β各为多大？

Answer 1

分析 （1）对AB过程由动能定理可求得小球的初速度，再由竖直方向的末速度可求得时间；
（2）由平抛运动的规律可求得对应的函数关系，并由斜率求得高度；
（3）根据（2）中求出的关系，由数学规律可求得最大距离．

解答 解：（1）对AB段运用动能定理：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgLsinα
解得：v₀=$\sqrt{2gLsinα}$                                        
t=$\frac{{v}_{0}cotβ}{g}$=$\frac{\sqrt{2gLsinα}cotβ}{g}$                              
（2）设小球平抛过程中水平方向和竖直方向的位移分别为x，y
在空中水平距离x=v₀t=2Lsinαcotβ
在空中竖直距离y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}co{t}^{2}β}{2g}$=Lsinαcos²β
由$\frac{h-y}{x}=tanβ$，得
cot²β=$\frac{h}{L}（\frac{1}{sinα}）-2$，
得到关于$\frac{1}{sinα}$与cot²β的关系式，对应图象横轴表示，对应图象横轴表示$\frac{1}{sinα}$
斜率为$\frac{h}{L}$，由图象可知斜率为2，故$\frac{h}{L}$=2，h=1m；            
（3）由第（2）问中x=v₀t=sinαcotβ和cot²β=$\frac{h}{L}（\frac{1}{sinα}）-2$，
x=$\sqrt{2sinα-2si{n}^{2}α}$                                    
当sinα=$\frac{1}{2}$时，S_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时α=30°
对应β=arccot$\sqrt{2}$=35.3°   
答：（1）小球的飞行时间为$\frac{\sqrt{2gLsinα}cotβ}{g}$；
（2）此坐标系的横轴表示$\frac{1}{sinα}$；竖直墙BC的高度h为1m；
（3）小球在CD上的落点离竖直墙的最大距离S_m为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；此时倾角α为30°β为35.3°．

点评 本题考查平抛运动及动能定理的规律，难点在于数学知识的应用，要注意根据物理规律结合几何关系进行分析求解．